Fungsi Variabel Acak Independen

25

Apakah klaim bahwa fungsi variabel acak independen itu sendiri independen, benar?

Saya telah melihat bahwa hasil sering digunakan secara implisit dalam beberapa bukti, misalnya dalam bukti independensi antara mean sampel dan varians sampel dari distribusi normal, tetapi saya belum dapat menemukan pembenaran untuk itu. Tampaknya beberapa penulis menganggapnya seperti yang diberikan tetapi saya tidak yakin bahwa ini selalu terjadi.

probability self-study random-variable independence JohnK
sumber

Jawaban:

33

The definisi yang paling umum dan abstrak kemerdekaan membuat pernyataan ini sepele sementara memasok kondisi kualifikasi penting: bahwa dua variabel acak adalah sarana independen sigma-aljabar mereka menghasilkan independen. Karena sigma-aljabar yang dihasilkan oleh fungsi terukur dari sigma-aljabar adalah sub-aljabar, maka setiap fungsi terukur dari variabel-variabel acak tersebut memiliki aljabar independen, di mana fungsi-fungsi itu independen.

(Ketika suatu fungsi tidak dapat diukur, biasanya tidak membuat variabel acak baru, sehingga konsep independen bahkan tidak berlaku.)

Mari kita buka definisi untuk melihat betapa sederhananya ini. Ingatlah bahwa variabel acak X adalah fungsi bernilai nyata yang didefinisikan pada "ruang sampel" Ω (himpunan hasil yang dipelajari melalui probabilitas).

  1. Variabel acak X dipelajari dengan menggunakan probabilitas bahwa nilainya terletak dalam berbagai interval bilangan real (atau, lebih umum, set dibangun dengan cara sederhana di luar interval: ini adalah set Borel yang dapat diukur dari bilangan real).

  2. Sesuai dengan setiap Borel set terukur adalah acara X * ( I ) yang terdiri dari semua hasil ohm yang X ( ω ) terletak pada saya .saya X∗(saya)ωX(ω)saya

  3. Aljabar-sigma yang dihasilkan oleh ditentukan oleh kumpulan semua peristiwa semacam itu.X

  4. Definisi naif mengatakan dua variabel acak dan Y adalah independen "ketika probabilitas mereka berkembang biak." Yaitu, ketika saya adalah satu set Borel yang dapat diukur dan J adalah yang lain, makaXYsayaJ

    Pr(X(ω)∈saya dan Y(ω)∈J)=Pr(X(ω)∈saya)Pr(Y(ω)∈J).

  5. Tetapi dalam bahasa peristiwa (dan aljabar sigma) itu sama dengan

    Pr(ω∈X∗(saya) dan ω∈Y∗(J))=Pr(ω∈X∗(saya))Pr(ω∈Y∗(J)).

Pertimbangkan sekarang dua fungsi dan anggaplah bahwa dan adalah variabel acak. (Lingkaran adalah komposisi fungsional: . Ini adalah apa artinya menjadi "fungsi dari variabel acak".) Perhatikan - ini hanya teori himpunan dasar - itu f ∘ X g ∘ Y ( f ∘ X ) ( ω ) = f ( X ( ω ) ) ff,g:R→Rf∘Xg∘Y(f∘X)(ω)=f(X(ω))f

(f∘X)∗(saya)=X∗(f∗(saya)).

Dengan kata lain, setiap peristiwa yang dihasilkan oleh (yang ada di sebelah kiri) secara otomatis merupakan peristiwa yang dihasilkan olehXf∘XX f ∘ X g ∘ Y (seperti yang ditunjukkan oleh bentuk sisi kanan). Karenanya (5) secara otomatis berlaku untuk dan : tidak ada yang perlu diperiksa!f∘Xg∘Y

NB Anda dapat mengganti "bernilai nyata" di mana saja dengan "dengan nilai dalam " tanpa perlu mengubah apa pun dengan cara material apa pun. Ini mencakup kasus variabel acak bernilai vektor.Rd

whuber
sumber
1
Sigma algebras adalah barang canggih (tingkat pascasarjana).
Aksakal
3
@Aksakal Tergantung pada sekolah mana Anda pergi atau buku apa yang Anda baca. (Saya telah berhasil mengajarkan materi ini di tingkat sarjana tahun kedua. Ada juga akun yang sangat mudah diakses dari teori ini di tingkat sarjana, seperti teks Steven Shreve tentang kalkulus stokastik, yang ditujukan kepada siswa hanya dengan latar belakang kalkulus.) Tetapi bagaimana itu relevan? Pembenaran apa pun - bahkan yang canggih - harus lebih disukai daripada pernyataan yang tidak bisa dibenarkan.
whuber
1
Anda sangat baik untuk pergi ke semua masalah itu untuk membantu seseorang yang mengajukan pertanyaan. Terima kasih lagi. Dan Anda benar, definisi tersebut tidak terlalu menakutkan.
JohnK
13

Pertimbangkan bukti "kurang canggih" ini:

Biarkan , di mana adalah variabel acak independen dan adalah fungsi yang dapat diukur. Kemudian: Menggunakan independensi dan , X , Y f , g P { f ( X ) ≤ x  dan  g ( Y ) ≤ y }X:ΩX→Rn,Y:ΩY→Rm,f:Rn→Rk,g:Rm→RhalX,Yf,gX Y P ( { X ∈ { w ∈ R n : f ( w ) ≤ x } }

P{f(X)≤x dan g(Y)≤y}=P({f(X)≤x}∩{g(Y)≤y})=P({X∈{w∈Rn:f(w)≤x}}∩{Y∈{w∈Rm:g(w)≤y}}).
XY
P({X∈{w∈Rn:f(w)≤x}}∩{Y∈{w∈Rm:g(w)≤y}})==P{X∈{w∈Rn:f(w)≤x}⋅P{Y∈{w∈Rm:g(w)≤y}}=P{f(X)≤x}⋅P{g(Y)≤y}.

Idenya adalah untuk memperhatikan bahwa set sehingga sifat yang berlaku untuk diperluas ke dan yang sama terjadi untuk .X f ( X ) Y

{f(X)≤x}≡{w∈ΩX:f(X(w))≤x}={X∈{w∈Rn:f(w)≤x}},
Xf(X)Y
Guilherme Salomé
sumber
2
+1. Terima kasih atas kontribusi ini, yang dengan jelas berfokus pada ide penting. Selamat datang di situs kami!
Whuber
7

Ya, dan independen untuk fungsi dan selama dan independen. Ini adalah hasil yang sangat terkenal, yang dipelajari dalam mata kuliah teori probabilitas. Saya yakin Anda dapat menemukannya di teks standar apa pun seperti Billingsley.h ( Y ) g h X Yg(X)h(Y)ghXY

Aksakal
sumber
Terima kasih, saya sedang mempelajari Hogg & Craig dan MGB. Billingsley adalah langkah logis berikutnya.
JohnK
3
Billinglsey adalah penyiksaan kecuali Anda ahli matematika dan sudah mempelajari langkah-langkahnya. Partarathy ini intro jauh lebih mudah 2-in-1 buku, Alan Karr ini Probabilitas teks juga mudah dibaca.
Aksakal
Teks lain yang lebih mudah daripada teks Billingsley: probability.ca/jeff/grprobbook.html
Adrian
0

Bukan sebagai alternatif, tetapi sebagai tambahan untuk jawaban brilian sebelumnya, perhatikan bahwa hasil ini sebenarnya sangat intuitif.

Biasanya, kami berpikir bahwa dan menjadi independen berarti mengetahui nilai tidak memberikan informasi tentang nilai dan sebaliknya. Penafsiran ini jelas menyiratkan bahwa Anda tidak dapat "memeras" suatu informasi dengan menerapkan suatu fungsi (atau dengan cara lain apa pun sebenarnya).XYXY

Alexis
sumber