Pengambilan sampel Gibbs untuk model Ising

11

Pertanyaan pekerjaan rumah:

Pertimbangkan model Ising 1-d.

Biarkan . adalah -1 atau +1x=(x1,...xd)xi

π(x)ei=139xixi+1

Desain algoritma pengambilan sampel gibbs untuk menghasilkan sampel kira-kira dari target distribusi .π(x)

Usaha saya:

Pilih nilai secara acak (-1 atau 1) untuk mengisi vektor . Jadi mungkin . Jadi ini .x=(x1,...x40)x=(1,1,1,1,1,1,1,1,...,1)x0

Jadi sekarang kita perlu melanjutkan dan melakukan iterasi pertama. Kita harus menggambar 40 x yang berbeda untuk secara terpisah. Begitu...x1

Gambar darix11π(x1|x20,...,x400)

Gambar darix21π(x2|x11,x30,...,x400)

Gambar darix31π(x3|x11,x21,x40,...,x400)

Dll ..

Jadi bagian yang membuat saya tersandung adalah bagaimana kita benar-benar menarik dari distribusi bersyarat. Bagaimana berperan? Mungkin satu contoh undian akan menjelaskan semuanya.π(x)ei=139xixi+1

Collin
sumber

Jawaban:

11

Lihat kasus ini dulu. Menjatuhkan istilah yang tidak bergantung pada , kami miliki. x1

π(x1x2,,xd)=π(x1,x2,,xd)π(x2,,xd)ex1x2
P(X1=1X2=x2,,Xn=xn)=ex2C
P(X1=1X2=x2,,Xn=xn)=ex2C
ex2C+ex2C=1C=2coshx2
x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

Generalisasi ke (perhatikan perbedaannya; lihat komentar Ilmari di bawah).x2,,x40

Bisakah Anda menggunakan hasil analitik Ising untuk memeriksa simulasi Anda?

Zen
sumber
Jadi, akhirnya hanya bergantung pada nilai tepat sebelum itu dalam vektor yaitu satu-satunya istilah yang bergantung pada adalah , satu-satunya istilah yang bergantung pada adalah , dll. Bagaimana dengan kasus ini dari ? Bagaimana kita menggambarkannya karena distribusi kondisional tampaknya hanya berlaku untuk hingga 39? x1x2x23x24x40i=1
Collin
1
@ user2079802: Tidak, untuk hingga Anda mendapatkan dua istilah dalam eksponen: . Tetapi masih cukup mudah untuk mengevaluasi itu untuk . x2x39π(xix1,,xi1;xi+1,,xd) exp(xi1xi+xixi+1)xi=±1
Ilmari Karonen