Apakah distribusi dengan momen yang sama identik atau tidak

17

Berikut ini mirip tetapi berbeda dari posting sebelumnya di sini dan di sini

  1. Dengan dua distribusi yang menerima momen dari semua pesanan, jika semua momen dari dua distribusi adalah sama, lalu apakah mereka distribusi yang identik?
  2. Dengan dua distribusi yang mengakui fungsi-fungsi pembangkit momen, jika mereka memiliki momen yang sama, apakah fungsi-fungsi pembangkit momen mereka sama?
StackExchange untuk Semua
sumber
1
Sesuai dengan pertanyaan # 2, saya percaya secara umum, jika dua fungsi memiliki MGF yang sama (jika ada di lingkungan terbuka 0) maka mereka mengikuti distribusi yang sama. Sayangnya, saya tidak tahu buktinya, karena cukup rumit. Semoga itu bisa membantu sedikit saja.
nicefella
1
@ nicefella Buktinya relatif mudah: mengevaluasi MGF pada nilai imajiner memberikan fungsi karakteristik yang dapat dibalik untuk menghasilkan distribusi. Karya inversi asalkan MGF bersifat analitik di lingkungan asal.
whuber

Jawaban:

22

Biarkan saya menjawab dengan urutan terbalik:

2. Ya. Jika MGF mereka ada, mereka akan sama *.

lihat di sini dan di sini misalnya

Memang itu mengikuti dari hasil yang Anda berikan di pos ini berasal; jika MGF secara unik ** menentukan distribusi, dan dua distribusi memiliki MGF dan mereka memiliki distribusi yang sama, mereka harus memiliki MGF yang sama (jika tidak, Anda akan memiliki sampel tandingan untuk 'MGF secara unik menentukan distribusi').

* untuk nilai-nilai tertentu 'sama', karena frasa 'hampir di mana-mana'

** ' hampir di mana - mana '

  1. Tidak - karena contoh tandingan ada.

Kendall dan Stuart mendaftar keluarga distribusi berkelanjutan (mungkin awalnya karena Stieltjes atau seseorang dari vintage itu, tetapi ingatan saya tidak jelas, sudah beberapa dekade) yang memiliki urutan momen yang identik namun berbeda.

Buku karya Romano dan Siegel (Counterexamples dalam Probabilitas dan Statistik) mencantumkan counterexamples dalam bagian 3.14 dan 3.15 (halaman 48-49). (Sebenarnya, melihat mereka, saya pikir keduanya ada di Kendall dan Stuart.)

Romano, JP dan Siegel, AF (1986),
Contoh tandingan dalam Probabilitas dan Statistik.
Boca Raton: Chapman and Hall / CRC.

Untuk 3,15 mereka memberi kredit Feller, 1971, p227

Contoh kedua itu melibatkan keluarga kepadatan

f(x;α)=124exp(-x1/4)[1-αdosa(x1/4)],x>0;0<α<1

Kepadatan berbeda sebagai α berubah, tetapi urutan momennya sama.

Bahwa urutan momennya sama melibatkan pemisahan f ke dalam bagian-bagian

124exp(-x1/4)-α124exp(-x1/4)dosa(x1/4)

dan kemudian menunjukkan bahwa bagian kedua berkontribusi 0 untuk setiap momen, sehingga semuanya sama dengan momen pada bagian pertama.

Di sini terlihat seperti dua kepadatan. Yang biru adalah kasus di batas kiri (α=0), hijau adalah kasusnya α=0,5. Grafik sisi kanan adalah sama tetapi dengan skala log-log pada sumbu.

contoh momen yang sama, kepadatan berbeda

Lebih baik lagi, mungkin, untuk mengambil kisaran yang jauh lebih besar dan menggunakan skala akar keempat pada sumbu x, membuat kurva biru lurus, dan yang hijau bergerak seperti kurva dosa di atas dan di bawahnya, sesuatu seperti:

enter image description here

Goyangan di atas dan di bawah kurva biru - baik yang lebih besar atau lebih kecil - berubah sehingga semua momen bilangan bulat positif tidak berubah.


Perhatikan bahwa ini juga berarti kita bisa mendapatkan distribusi semua momen ganjilnya nol, tetapi asimetris, dengan memilihX1,X2 dengan berbeda α dan mengambil campuran 50-50 dari X1, dan -X2. Hasilnya harus membatalkan semua momen aneh, tetapi dua bagian tidak sama.

Glen_b -Reinstate Monica
sumber
1
Terima kasih! Dalam jawaban Anda untuk pertanyaan kedua saya, apa artinya "untuk nilai-nilai tertentu 'sama'"? Bisakah Anda memberikan contoh tandingan pada pertanyaan pertama saya?
StackExchange for All
1
Ini hanyalah referensi ke kualifikasi yang diperlukan yang disebabkan oleh 'hampir di mana-mana' yang ada di pertanyaan sebelumnya. Jadi contoh tandingan bisa melihat fungsi densitas yang hampir sama di mana-mana tetapi berbeda pada subset poin yang dapat dihitung - saya sudah memberikan contoh kepada Anda sebelumnya.
Glen_b -Reinstate Monica
For my first question, (according to your answer yes to my second question and to my question in my previous post), do all the counterexamples belong to the case when not both distributions admit moment generating functions?
StackExchange for All
That it must be so is a consequence of the statement "If the mgf is finite in an open interval containing zero, then the associated distribution is characterized by its moments" in cardinal's answer I believe I linked to. If an mgf is not finite in that sense, that's the only way for the distribution not to be characterized by its moments.
Glen_b -Reinstate Monica
4
The first question was answered at stats.stackexchange.com/questions/25010/… and in the OP's recent question at stats.stackexchange.com/questions/84158/…. Feller's example is attributed to Stieltjes (way before Feller's time) in Stuart & Ord.
whuber