Identitas fungsi penghasil momen

Iya.

Dalam sebuah latihan, Stuart & Ord ( Teori Statistik Lanjutan Kendall, Edisi ke-5, Kel. 3.12) mengutip hasil 1918 dari TJ Stieltjes (yang tampaknya muncul dalam Oeuvres Completes , ):

Jika adalah fungsi aneh periode $f$ , tunjukkan itu $\frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\infty} x^{r} x^{- \log x} f (\log x) d x = 0$ $\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$
untuk semua nilai integral . Oleh karena itu menunjukkan distribusi $r$

$d F = x^{- \log x} (1 - λ \sin (4 π \log x)) d x, 0 \leq x < \infty; 0 \leq | λ | \leq 1,$ $dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$
memiliki momen yang sama berapapun nilai . $\lambda$

(Dalam aslinya, hanya muncul sebagai ; pembatasan ukuran muncul dari persyaratan untuk menjaga semua nilai fungsi kepadatan non-negatif.) Latihan ini mudah diselesaikan melalui substitusi dan menyelesaikan kotak. Kasus adalah distribusi lognormal yang terkenal . $|\lambda|$ $\lambda$ $\lambda$ $dF$ $x = \exp(y)$ $\lambda=0$

masukkan deskripsi gambar di sini

$\lambda=0$ $\lambda = -1/4$ $\lambda = 1/2$

whuber
sumber

Tetapi distribusi lognormal tidak memiliki fungsi penghasil momen.

onestop

Itu poin yang sangat bagus, onestop, dan saya harus setuju dengan itu. Saya mengambil pertanyaan dalam arti "memiliki rangkaian momen yang sama" dan saya seharusnya menunjukkan perubahan interpretasi itu. Ketika mgf ada sebagai fungsi (dan bukan hanya sebagai rangkaian daya formal), maka dapat terbalik untuk menghasilkan kepadatan unik yang sesuai dengannya.

whuber

Tidak benar bahwa lognormal tidak memiliki mgf, hanya saja itu tidak didefinisikan pada interval terbuka yang mengandung nol

kjetil b halvorsen

$0.$

0

$0$

0.

$0.$

@whuber: Tidak apa-apa, tetapi tampaknya sering dipahami secara implisit sehingga orang lupa bahwa mgf juga berguna. Lihat juga (tautan dalam) stats.stackexchange.com/questions/389846/…

kjetil b halvorsen

Identitas fungsi penghasil momen

Jawaban: