Jika saya menentukan koordinat dan mana( X 2 , Y 2 )
Bagaimana saya bisa menemukan nilai jarak yang diharapkan dari mereka?
Saya berpikir, karena jarak dihitung oleh akan nilai yang diharapkan jadilah ?(1/30+1/30)2+(1/40+1/40)2
expected-value
uniform
distance
Matematika lengkap
sumber
sumber
Jawaban:
Jika saya mengerti benar apa yang Anda cari, mungkin ini bisa membantu. Anda mencoba mencari jarak antara titik acak, nilai X siapa yang dihasilkan dari unif (0,30) dan nilai Y dihasilkan dari unif (0,40). Saya baru saja membuat satu juta RV dari masing-masing distribusi dan kemudian mengikat x dan y untuk membuat titik bagi masing-masing. Kemudian saya menghitung jarak antara titik 2 dan 1 sampai ke jarak antara titik 1.000.000 dan 999.999. Jarak rata-rata adalah 18,35855. Beri tahu saya jika ini bukan yang Anda cari.
sumber
n <- 10^7; distance <- sqrt((runif(n,0,30)-runif(n,0,30))^2 + (runif(n,0,40)-runif(n,0,40))^2)
sd(distance) / sqrt(n)
Jelas, dari melihat pertanyaan secara geometris, bahwa jarak yang diharapkan antara dua titik independen, seragam, acak dalam set cembung akan sedikit kurang dari setengah diameternya . (Seharusnya kurang karena itu relatif jarang untuk dua titik berada di daerah ekstrim seperti sudut dan lebih sering terjadi mereka akan dekat pusat, di mana mereka dekat.) Karena diameter persegi panjang ini adalah , dengan ini dengan alasan sendiri kita akan mengantisipasi jawabannya menjadi sedikit kurang dari .50 25
Jawaban pasti diperoleh dari definisi ekspektasi sebagai nilai probabilitas tertimbang jarak. Secara umum, perhatikan segi empat sisi dan ; kami akan meningkatkannya ke ukuran yang benar sesudahnya (dengan menetapkan dan mengalikan harapan dengan ). Untuk persegi panjang ini, menggunakan koordinat , densitas probabilitas yang seragam adalah . Jarak rata-rata dalam persegi panjang ini kemudian diberikan oleh1 λ λ=40/30 30 (x,y) 1λdxdy
Menggunakan metode integrasi elementer ini mudah tetapi menyakitkan untuk dilakukan; Saya menggunakan sistem aljabar komputer ( Mathematica ) untuk mendapatkan jawabannya
Kehadiran dalam banyak istilah ini tidak mengherankan: itu adalah diameter persegi panjang (jarak maksimum yang dimungkinkan antara dua titik di dalamnya). Munculnya logaritma (yang termasuk arcsinh) juga tidak mengejutkan jika Anda pernah menyelidiki jarak rata-rata dalam angka bidang sederhana: entah bagaimana itu selalu muncul (sedikit petunjuk ini muncul di bagian integral dari fungsi garis potong). Kebetulan, kehadiran dalam penyebut tidak ada hubungannya dengan spesifik masalah yang melibatkan segi empat sisi dan : itu adalah konstanta universal.)1+λ2−−−−−√ 30 30 40
Dengan dan meningkatkan dengan faktor , ini dievaluasi menjadi .λ=4/3 30 1108(871+960log(2)+405log(3))≈18.345919…
Salah satu cara untuk memahami situasinya lebih dalam adalah memplot jarak rata-rata relatif terhadap diameter untuk berbagai nilai . Untuk nilai ekstrim (mendekati atau lebih besar dari ), persegi panjang pada dasarnya menjadi satu dimensi dan integrasi yang lebih elementer menunjukkan jarak rata-rata harus dikurangi menjadi sepertiga diameter. Juga, karena bentuk persegi panjang dengan dan adalah sama, adalah wajar untuk memplot hasilnya pada skala logaritmik , di mana ia harus simetris tentang (kuadrat). Ini dia: λ01λ1/λλλ=11+λ2−−−−−√ λ 0 1 λ 1/λ λ λ=1
Dengan ini kita belajar aturan praktis : jarak rata-rata dalam sebuah persegi panjang adalah antara dan (sekitar) dari diameternya, dengan nilai-nilai yang lebih besar yang terkait dengan persegi empat persegi panjang dan nilai-nilai kecil yang terkait dengan panjang kurus (linier ) persegi panjang. Titik tengah antara ekstrem ini dicapai secara kasar untuk persegi panjang dengan rasio aspek . Dengan mengingat aturan ini, Anda bisa melirik persegi panjang dan memperkirakan jarak rata-rata ke dua angka penting.0,37 3 : 11/3≈0.33 0.37 3:1
sumber