Jumlah dari dua variabel acak gamma independen

Menurut artikel Wikipedia tentang distribusi Gamma :

Jika $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ dan $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ , di mana $X$ dan $Y$ adalah variabel acak independen, maka $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$ .

Tapi saya tidak melihat bukti. Adakah yang bisa mengarahkan saya ke buktinya?

Sunting: Terima kasih banyak kepada Zen, dan saya juga menemukan jawabannya sebagai contoh di halaman Wikipedia tentang fungsi karakteristik .

Buktinya adalah sebagai berikut: (1) Ingatlah bahwa fungsi karakteristik dari jumlah variabel acak independen adalah produk dari fungsi karakteristik individu mereka; (2) Dapatkan fungsi karakteristik dari variabel acak gamma di sini ; (3) Lakukan aljabar sederhana.

Untuk mendapatkan intuisi di luar argumen aljabar ini, periksa komentar whuber.

Catatan: OP bertanya bagaimana cara menghitung fungsi karakteristik dari variabel acak gamma. Jika , maka (Anda dapat memperlakukan saya sebagai konstanta biasa, dalam hal ini)$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$$i$

$$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$$

Sekarang gunakan tip Huber: Jika , maka Y = X 1 + ⋯ + X k , di mana X i adalah independen E x p ( λ = 1 / θ ) . Oleh karena itu, menggunakan properti (1), kita memiliki ψ Y ( t ) = ( $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$$Y=X_1+\dots+X_k$$X_i$$\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

$$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$$

Kiat: Anda tidak akan mempelajari hal-hal ini menatap hasil dan bukti: tetap lapar, hitung semuanya, cobalah untuk menemukan bukti Anda sendiri. Bahkan jika Anda gagal, penghargaan Anda terhadap jawaban orang lain akan berada pada level yang jauh lebih tinggi. Dan, ya, gagal itu OK: tidak ada yang melihat! Satu-satunya cara untuk belajar matematika adalah dengan bertarung tinju untuk setiap konsep dan hasil.

Berikut adalah jawaban yang tidak perlu menggunakan fungsi karakteristik, tetapi sebaliknya memperkuat beberapa ide yang memiliki kegunaan lain dalam statistik. Kepadatan jumlah variabel acak independen adalah konvolusi kepadatan. Jadi, dengan mengambil untuk kemudahan eksposisi, kita memiliki untuk z > 0 , f X + Y ( z $\theta = 1$$z > 0$

$$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$$

On a more heuristic level: If $a$ and $b$ are integers, the Gamma distribution is an Erlang distribution, and so $X$ and $Y$ describe the waiting times for respectively $a$ and $b$ occurrences in a Poisson process with rate $\theta$. The two waiting times $X$ and $Y$ are

1. independent
2. sum up to a waiting time for $a+b$ occurrences

and the waiting time for $a+b$ occurrences is distributed Gamma($a+b,\theta$).

None of this is a mathematical proof, but it puts some flesh on the bones of the connection, and can be used if you want to flesh it out in a mathematical proof.