Kalkulus vektor dalam statistik

10

Saya mengajar kelas tentang integrasi fungsi beberapa variabel dan kalkulus vektor semester ini. Kelas ini terdiri dari sebagian besar jurusan ekonomi dan jurusan teknik, dengan segelintir orang matematika dan fisika juga. Saya mengajar kelas ini semester lalu, dan saya menemukan bahwa banyak jurusan ekonomi agak bosan selama semester kedua. Saya dapat memotivasi banyak integral dengan melakukan beberapa perhitungan dengan variabel acak yang didistribusikan bersama, tetapi untuk bagian analisis vektor saja, satu-satunya motivasi yang dapat saya pikirkan didasarkan pada fisika.

Jadi saya bertanya-tanya apakah ada yang tahu interpretasi statistik / probabilistik dari salah satu teorema utama kalkulus vektor: teorema Green, teorema Stokes, dan teorema divergensi. Sebagian masalahnya adalah bahwa bidang vektor tampaknya tidak sering muncul dalam teori probabilitas, apalagi divergensi, gradien, atau keriting. Saya juga memposting pertanyaan ini di math.stackexchange beberapa hari yang lalu, tetapi saya masih mencari lebih banyak ide.

generalized-linear-model teaching integral geometry quasi-likelihood Paul Siegel
sumber
Saya memiliki MA dalam ekon dan saya tidak pernah ingat membutuhkan divergence atau curl (atau teorema yang Anda daftarkan). Jika ada aplikasi (mungkin ke DSGE), itu akan berada di tingkat PhD. Namun, gradien digunakan dalam optimasi, yang penting untuk ekonomi dan manajemen portofolio.
John
5
Bidang vektor sebenarnya muncul dengan cara mendasar dalam jawaban di stats.stackexchange.com/questions/29121/… , yang menunjukkan bahwa mereka dapat muncul di tempat yang tidak terduga. Selain itu, utas komentar setelah jawaban itu menunjukkan (bagi saya, setidaknya) bahwa ahli statistik yang sangat mapan akan menghargai teori ini dengan lebih baik seandainya ia memiliki lebih banyak pelatihan dan praktik dalam metode geometris dan analitik.
whuber
Sangat sulit untuk membuat bahkan fisikawan tertarik pada teorema dan bukti mereka, bahkan dengan teorema Stokes, yang sangat penting dalam fisika. Saya tidak ingat ingatan sama sekali! Namun saya ingat bagaimana menggunakannya. Jadi, saya tidak akan terlalu khawatir membuatnya menarik, pada dasarnya tidak mungkin.
Aksakal

Jawaban:

3

Salah satu contoh yang bisa Anda lihat adalah quasi-kemungkinan. Diskusi mengenai hal ini dalam McCullagh & Nelder: Generalized Linear Models menggunakan (untuk bagian teoretis) gradien dan path-integral dalam cara yang penting! Lihat bab 9 buku itu.

kjetil b halvorsen
sumber
3

Saya ragu banyak ahli statistik harus menggunakan kalkulus vektor seperti yang diajarkan untuk fisika dan teknik . Tetapi untuk apa nilainya di sini adalah beberapa topik yang akan menggunakannya, setidaknya secara tangensial. Tema yang mendasari di sini adalah bahwa fungsi holomorfik dari analisis kompleks, yang terdiri dari fungsi harmonik, terkait erat melalui persamaan Cauchy Riemann dengan teorema Stokes 'dan Green. Fungsi-fungsi ini dapat dipelajari baik dengan memeriksa interior domain mereka bersama dengan batas mereka.

Kemungkinan Probabilitas. Ini bukan hanya untuk mekanika kuantum. Secara umum, difusi probabilitas muncul ketika mempelajari distribusi probabilitas dengan variasi waktu yang berubah dengan lancar. Ini termasuk versi stokastik dari sistem klasik, seperti persamaan panas, Navier Stokes untuk dinamika fluida, persamaan gelombang untuk mekanika kuantum, dll. Contoh persamaan termasuk persamaan Fokker-Planck dan persamaan Kolmogorov Backwards / Forwards melibatkan divergensi, yang pada gilirannya berhubungan dengan untuk memanaskan persamaan, integral Feynan-Kac, masalah dirichlet dan fungsi Green. Kata kunci di sini adalah fungsi harmonik yang kompleks, yang memenuhi properti nilai rata-rata, yang pada gilirannya merupakan konsekuensi dari teorema integral Green dan teorema Stokes. Contoh klasik menghitung waktu keluar difusi dari daerah tertutup, yang mengurangi untuk mengevaluasi integral pada batas permukaan dan mengeksploitasi harmonisitas di dalam wilayah.

Contoh utama di sini adalah masalah yang melibatkan gerakan Brown, dan secara umum kelas luas dari Difusi Ito . Buku yang luar biasa (dan eksentrik!) Tentang ini adalah Hijau, Coklat, dan Probabilitas oleh Kai Chung yang legendaris.

The Disintegrasi Teorema untuk probabilitas adalah implicity Stokes' Thoerem, dalam satu hancur probabilitas dimensi ukuran 3 ke batas permukaan yang membungkus dukungannya.

Dalam mekanika statistik dan bidang acak markov, ada prevalensi besar konservasi dalam bentuk arus. Model Ising, terutama pada kritikalitas, dan kerabatnya dapat dipelajari dari sudut pandang fungsi harmonik dan holomorfik diskrit. Dari persamaan Cauchy Riemann, seseorang pulih baik Teorema Green dan teorema Stokes, dalam bahwa arus keduanya bebas divergensi dan bebas keriting, yang bersama-sama menyiratkan bahwa bidang yang mendasarinya adalah holomorfik. Referensi yang bagus tentang ini adalah dari karya Smirnov, Chelkak dan Dominil-Copin .

Alex R.
sumber