Tautan antara fungsi yang menghasilkan momen dan fungsi karakteristik

17

Saya mencoba memahami hubungan antara fungsi yang menghasilkan momen dan fungsi karakteristik. Fungsi penghasil momen didefinisikan sebagai:

MX(t)=E(exp(tX))=1+tE(X)1+t2E(X2)2!++tnE(Xn)n!

Menggunakan seri ekspansi , Saya dapat menemukan semua momen distribusi untuk variabel acak X.exp(tX)=0(t)nXnn!

Fungsi karakteristik didefinisikan sebagai:

φX(t)=E(exp(itX))=1+itE(X)1t2E(X2)2!++(it)nE(Xn)n!

Saya tidak sepenuhnya memahami informasi apa jumlah imajiner memberi saya lebih banyak. Saya melihat bahwa i 2 = - 1 dan dengan demikian kita tidak hanya memiliki + dalam fungsi karakteristik, tetapi mengapa kita perlu mengurangi momen dalam fungsi karakteristik? Apa ide matematika itu?ii2=1+

Giuseppe
sumber
7
Satu poin penting adalah bahwa fungsi penghasil momen tidak selalu terbatas! (Lihat pertanyaan ini , misalnya.) Jika Anda ingin membangun teori umum, katakanlah, tentang konvergensi dalam distribusi, Anda ingin dapat membuatnya berfungsi dengan objek sebanyak mungkin. Fungsi karakteristik, tentu saja, terbatas untuk setiap variabel acak sejak . |exp(itX)|1
kardinal
Kesamaan dalam ekspansi Taylor masih memungkinkan seseorang untuk membacakan momen, ketika mereka ada, tetapi perhatikan bahwa tidak semua distribusi memiliki momen, sehingga minat pada fungsi-fungsi ini jauh melampaui ini! :)
kardinal
6
Poin lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa MGF adalah transformasi Laplace dari variabel acak dan CF adalah transformasi Fourier. Ada hubungan mendasar antara transformasi integral ini, lihat di sini .
tchakravarty
Saya pikir CF adalah transformasi fourier terbalik (dan bukan transformasi fourier) dari distribusi propability?
Giuseppe
1
Perbedaannya hanya masalah tanda dalam eksponen, dan mungkin konstanta multiplikasi.
Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

12

1

E[etX]tg(z):=E[ezX] for each complex number z. Then we notice that MX(t)=g(t) and φX(t)=g(it).

Davide Giraudo
sumber