Apakah Multivariate Central Limit Theorem (CLT) berlaku ketika variabel menunjukkan ketergantungan kontemporer sempurna?

$X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

Motivasi: Motivasi saya untuk pertanyaan ini berasal dari kenyataan bahwa rasanya aneh (tapi luar biasa) bahwa dan sangat tergantung ketika , namun implikasi dari CLT multivariat adalah bahwa mereka mendekati independensi sebagai (Ini akan mengikuti karena dan tidak berkorelasi untuk semua , maka jika mereka normal asimptotik bersama, maka mereka juga harus independen asimptotik). $S_n$ $T_n$ $n = 1$ $n \rightarrow \infty$ $S_n$ $T_n$ $n$

Terima kasih sebelumnya atas segala jawaban atau komentar!

ps, Jika Anda dapat memberikan referensi dll, maka semuanya akan menjadi lebih baik!

normal-distribution multivariate-analysis independence central-limit-theorem joint-distribution Colin T Bowers
sumber

Tidak ada jawaban, tetapi sebuah komentar. Saya tidak menemukan ini sangat mengejutkan. Ketergantungan yang Anda catat untuk n = 1 dengan cepat berkurang ketika n naik.

Erik

@egbutter telah memberikan jawaban yang bagus. Jika Anda masih mencari beberapa alternatif atau intuisi tambahan, ping saya dan saya akan melihat tentang menulis sesuatu yang sedikit berbeda.

kardinal

@ cardinal Terima kasih banyak atas tawarannya, tapi saya cukup senang saat ini - saya memberikan hadiah kepada egbutter. Saya pikir saya punya intuisi. Tujuan utama saya dalam memposting adalah untuk melihat apakah seseorang masuk dan berkata, "Tidak, tidak, Anda salah karena ..." :-) Cheers.

Colin T Bowers

Jawaban:

Jawaban singkat seperti yang saya mengerti q Anda adalah "ya, tapi ..." tingkat konvergensi pada S, T, dan momen lainnya tidak selalu sama - periksa menentukan batas dengan Teorema Berry-Esseen .

Jika saya salah mengerti q Anda, Sn dan Tn bahkan memegang CLT dalam kondisi ketergantungan yang lemah (pencampuran): lihat CLT Wikipedia untuk proses dependen .

CLT adalah teorema yang umum - bukti dasar tidak memerlukan apa-apa selain fungsi karakteristik Sn dan Tn yang menyatu dengan fungsi karakteristik dari standar normal, kemudian Levy Continuity Theorem mengatakan konvergensi fungsi karakteristik menyiratkan konvergensi distribusi.

John Cook memberikan penjelasan yang bagus tentang kesalahan CLT di sini .

egbutter
sumber

Terima kasih atas jawabannya. Saya tidak terlalu peduli dengan tingkat konvergensi sejauh pertanyaan ini, atau apakah CLT akan bertahan dalam kondisi yang lebih umum, misalnya ketergantungan. Apa yang saya benar-benar harapkan adalah referensi atau pernyataan yang membenarkan penggunaan CLT multivariat ketika komponen ke-i dari masing-masing jumlah menunjukkan ketergantungan kontemporer sempurna. Saya kemudian menemukan referensi dalam "Stochastic Limit Theory" Davidson yang menyatakan bahwa multivariat CLT dipegang karena ketergantungan secara kontemporer, tetapi saya masih mencari sedikit kekakuan di sekitar pernyataan itu.

Colin T Bowers

Sepertinya Anda terlalu memikirkan ini. Apakah Anda berada di [1, n] komponen "kontemporer" yang Anda maksud? Jika demikian, maka poin pentingnya adalah bahwa Sn dan Tn Anda masih akan bertemu (Anda dapat membuktikan ini pada diri Anda menggunakan metode yang sama dengan bukti CLT "old-school" yang disebutkan di atas) - tetapi untuk i tertentu, kesalahan mereka akan berbeda. Itu tidak mengubah fakta yang dimiliki CLT. Perbedaan multi / univariat tidak penting.

egbutter

Ya, saya adalah komponen kontemporer. Saran bagus untuk menjalankan contoh melalui bukti. Saya benar-benar melakukan ini, dan tidak menemukan masalah, yang secara paradoksal membuat saya lebih gugup. Mungkin saya terlalu memikirkan hal-hal saat ini :-) Terima kasih lagi atas tanggapannya. Jika tidak ada orang yang memiliki jawaban pada akhir hari, saya akan menandai jawaban Anda jawabannya. Bersulang.

Colin T Bowers

Saya pasti bisa berempati - saya sering melakukan hal yang sama! :)

egbutter

Ini tidak membuktikan apa-apa, tentu saja, tetapi saya selalu menemukan melakukan simulasi dan merencanakan grafik sangat berguna untuk memahami hasil teoretis.

Ini adalah kasus yang sangat sederhana. Kami menghasilkan variasi normal acak dan menghitung dan ; ulangi kali. Plot adalah grafik untuk dan . Sangat mudah untuk melihat ketergantungan yang melemah ketika meningkat; pada grafik hampir tidak dapat dibedakan dari independensi. $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

masukkan deskripsi gambar di sini

Hong Ooi
sumber