Apa yang salah dengan bukti saya tentang Hukum Varians Total?

Menurut Hukum Varians Total,

$$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$$

Ketika mencoba membuktikannya, saya menulis

$$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$$

Apakah ada yang salah?

Baris ketiga salah, karena Anda tidak memiliki di baris kedua. Misalnya, jika adalah Bernoulli (1/2) dan adalah 1 jika adalah 1 dan -1 jika adalah 0, maka (ini yang Anda inginkan) karena benar-benar informatif tentang , tetapi apa yang Anda miliki akan memberi Anda .$\text{E}[X|Y]$$Y$$X$$Y$$Y$$\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$$Y$$X$$\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$

Tidak akan bohong, Anda membuat saya mempertanyakan diri sendiri dan saya harus menatap ini sebentar sebelum saya tersadar meskipun saya harus membuktikan LOTV kepada diri sendiri satu miliar kali: P

Transisi dari baris kedua ke baris ketiga tidak mengikuti. Karena Anda memiliki:$\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$

$$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$$

Dalam kasus khusus di mana untuk semua hasil kerja dan hasil Anda akan tahan, dan akan menjadi kasus khusus dari hasil yang lebih umum.$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$$y \in \mathbb{R}$

$$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$$