Poisson adalah eksponensial karena Gamma-Poisson adalah untuk apa?

Distribusi Poisson dapat mengukur peristiwa per satuan waktu, dan parameternya adalah $\lambda$ . Distribusi eksponensial mengukur waktu hingga peristiwa berikutnya, dengan parameter . Satu dapat mengkonversi satu distribusi ke yang lain, tergantung pada apakah lebih mudah untuk memodelkan peristiwa atau waktu. $\frac{1}{\lambda}$

Sekarang, gamma-poisson adalah poisson "stretched" dengan varian yang lebih besar. Distribusi Weibull adalah eksponensial "membentang" dengan varian yang lebih besar. Tetapi dapatkah keduanya dengan mudah diubah menjadi satu sama lain, dengan cara yang sama Poisson dapat dikonversi menjadi eksponensial?

Atau adakah distribusi lain yang lebih tepat untuk digunakan dalam kombinasi dengan distribusi gamma-poisson?

Gamma-poisson juga dikenal sebagai distribusi binomial negatif, atau NBD.

poisson-distribution negative-binomial gamma-distribution exponential-family zbicyclist
sumber

Jawaban:

Ini adalah masalah yang cukup lurus ke depan. Meskipun ada hubungan antara distribusi Poisson dan Negatif Binomial, saya benar-benar berpikir ini tidak membantu untuk pertanyaan spesifik Anda karena mendorong orang untuk memikirkan proses binomial negatif. Pada dasarnya, Anda memiliki serangkaian proses Poisson:

Y_{i} (t_{i}) | λ_{i} \sim P o i s s o n (λ_{i} t_{i})

$Y_i(t_i)|\lambda_i\sim Poisson(\lambda_i t_i)$

Di mana adalah proses dan adalah waktu Anda mengamatinya, dan menunjukkan individu. Dan Anda mengatakan bahwa proses ini "serupa" dengan mengikat tarif bersama dengan distribusi: $Y_i$ $t_i$ $i$

λ_{i} \sim G a m m a (α, β)

$\lambda_i\sim Gamma(\alpha,\beta)$

Saat melakukan integrasi / mxixing lebih dari , Anda harus: $\lambda_i$

Y_{i} (t_{i}) | α β \sim N e g B i n (α, p_{i}) w h e r e p_{i} = \frac{t_{i}}{t_{i} + β}

$Y_i(t_i)|\alpha\beta\sim NegBin(\alpha,p_i)\;\;\; where \;\;p_i=\frac{t_i}{t_i+\beta}$

Ini memiliki PMF dari:

P r (Y_{i} (t_{i}) = y_{i} | α β) = \frac{Γ (α + y_{i})}{Γ (α) y_{i}!} p_{i}^{y_{i}} (1 - p_{i})^{α}

$Pr(Y_i(t_i)=y_i|\alpha\beta) = \frac{\Gamma(\alpha+y_i)}{\Gamma(\alpha)y_i!}p_i^{y_i}(1-p_i)^\alpha$

Untuk mendapatkan distribusi waktu tunggu, kami perhatikan bahwa:

P r (T_{i} \leq t_{i} | α β) = 1 - P r (T_{i} > t_{i} | α β) = 1 - P r (Y_{i} (t_{i}) = 0 | α β)

$Pr(T_i\leq t_i|\alpha\beta)=1-Pr(T_i> t_i|\alpha\beta)=1-Pr(Y_i(t_i)=0|\alpha\beta)$

= 1 - (1 - p_{i})^{α} = 1 - {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$=1-(1-p_i)^\alpha=1-\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

Bedakan ini dan Anda memiliki PDF:

p_{T_{i}} (t_{i} | α β) = \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$p_{T_i}(t_i|\alpha\beta)=\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$

Ini adalah anggota dari distribusi Pareto umum, tipe II. Saya akan menggunakan ini sebagai distribusi waktu tunggu Anda.

Untuk melihat koneksi dengan distribusi Poisson, perhatikan bahwa , sehingga jika kita atur $\frac{\alpha}{\beta}=E(\lambda_i|\alpha\beta)$ dan kemudian ambil bataskita dapatkan: $\beta=\frac{\alpha}{\lambda}$ $\alpha\to\infty$

lim_{α \to \infty} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)} = lim_{α \to \infty} λ {(1 + \frac{λ t_{i}}{α})}^{- (α + 1)} = λ \exp (- λ t_{i})

$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}=\lim_{\alpha\to\infty}\lambda\left(1+\frac{\lambda t_i}{\alpha}\right)^{-(\alpha+1)}=\lambda\exp(-\lambda t_i)$

Ini berarti Anda dapat menafsirkan sebagai parameter dispersi berlebih. $\frac{1}{\alpha}$

probabilityislogic
sumber

Anda juga dapat mencatat bahwa distribusi waktu tunggu adalah, secara kasar, distribusi eksponensial dengan parameter laju Gamma acak dan secara tegas ini adalah distribusi Beta jenis kedua, seperti untuk distribusi Gamma apa pun dengan parameter laju acak Gamma.

Stéphane Laurent

Menggunakan @probabilityislogic sebagai dasar, saya menemukan artikel berikut ini memberikan lebih banyak detail pada hubungan antara NBD dan Pareto: Gupta, Sunil dan Donald G. Morrison. Memperkirakan Heterogenitas dalam Tarif Pembelian Konsumen. Ilmu Pemasaran, 1991, 10 (3), 264-269. Terima kasih untuk semua yang membantu saya menjawab pertanyaan ini.

zbicyclist

1, saya kira bentuk analisis ini bagus mungkin tidak lagi ada untuk

P o i s s o n (λ_{i} t_{i} + c)

$Poisson(\lambda_i t_i + c)$

c

$c$

Z_{i} = Y_{i} + X_{i}

$Z_i=Y_i+X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i} \sim p o i s s o n (c)

$X_i\sim poisson (c)$

X_{i}

$X_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

Y_{i}

$Y_i$

Z_{i}

$Z_i$

P r (Y_{i} = 0)

$Pr(Y_i=0)$

P r (X_{i} = 0) = e^{- c}

$Pr(X_i=0)=e^{-c}$

1 - e^{- c} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$1-e^{-c}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

e^{- c} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$e^{-c}\frac {\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$

λ_{i} < c t_{i}^{- 1}

$\lambda_i <ct_i^{-1}$

c > 0

$c>0$ pada jawaban saya sebelumnya). Ini berarti tidak ada distribusi nb.

probabilityislogic

Satu kemungkinan: Poisson adalah Eksponensial sebagai Negatif-Binomial adalah ... Eksponensial!

Ada proses Lévy peningkatan lompatan murni yang disebut Proses Binomial Negatif $t$ $1$

Mungkin ada deskripsi berguna lainnya. Lihat "Membingkai distribusi binomial negatif untuk sekuensing DNA."

Biarkan saya menjadi lebih eksplisit tentang bagaimana Proses Binomial Negatif yang dijelaskan di atas dapat dibangun.

$p \lt 1$
$X_1, X_2, X_3, ...$ $P(x_i = k) = \frac{-1}{\log(1-p)} \frac{p^k}{k}.$
$N$ $-\log(1-p)$ $N(t) = \text{Pois}(-t \log(1-p)).$
Let $NBP$ be the process so that

N B P (t) = \sum_{i = 1}^{N (t)} X_{i} .

$NBP(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} X_i.$

$NBP$ is a pure jump process with logarithmically distributed jumps. The gaps between jumps follow an exponential distribution with rate $-\log(1-p).$

I don't think it is obvious from this description that $NBP(t)$ has a negative binomial $NB(t,p)$ distribution, but there is a short proof using probability generating functions on Wikipedia, and Fisher also proved this when he introduced the logarithmic distribution to analyze the relative frequencies of species.

Douglas Zare
sumber

Tidak, setiap proses Poisson majemuk memiliki waktu tunggu eksponensial. Ini berarti Anda menambahkan

Pois (λ t)

$\text{Pois}(\lambda t)$ Variabel acak IID dengan beberapa distribusi.

Douglas Zare

Tidak, bukan itu yang dimaksud dengan proses Poisson majemuk. en.wikipedia.org/wiki/Compound_Poisson_process "Lompatan tiba secara acak sesuai dengan proses Poisson dan ukuran lompatan juga acak, dengan distribusi probabilitas yang ditentukan." Saya tidak mengatakan variabel IID Poisson. Anda ambil

N

$N$ jumlah parsial dari variabel acak logaritmik IID dimana

N

$N$ adalah nilai dari proses Poisson.

Douglas Zare

Jika Anda mengalikan proses Poisson dengan

2

$2$ , ini bukan proses Poisson dan waktu tunggu tetap eksponensial.

Douglas Zare

mari kita lanjutkan diskusi ini dalam obrolan

Douglas Zare

Saya belum bisa berkomentar, jadi saya minta maaf karena ini bukan solusi yang pasti.

Anda meminta distribusi yang sesuai untuk digunakan dengan NB tetapi tepat tidak sepenuhnya ditentukan. Jika distribusi yang tepat berarti tepat untuk menjelaskan data dan Anda mulai dengan Poisson yang overdispersi maka Anda mungkin harus melihat lebih jauh ke dalam penyebab overdispersi. NB tidak membedakan antara Poisson dengan cara heterogen atau ketergantungan kejadian positif (bahwa satu peristiwa yang terjadi meningkatkan kemungkinan terjadinya yang lain). Dalam waktu terus menerus ada juga ketergantungan durasi, misalnya ketergantungan durasi positif berarti berlalunya waktu meningkatkan probabilitas suatu kejadian. Itu juga menunjukkan bahwa ketergantungan durasi negatif asimtotik menyebabkan overdispersed Poisson [1] . Ini menambah daftar model waktu tunggu yang sesuai.

Meadowlark Bradsher
sumber

penyebab overdispersi: Ini adalah data pembelian konsumen. Konsumen individu poisson, masing-masing dengan tingkat pembelian lambda. Tetapi tidak setiap konsumen memiliki lambda yang sama - itulah penyebab dari penyebaran berlebihan. Tarif pembelian lambda dianggap didistribusikan sebagai gamma. Ini adalah model yang umum (ditelusuri kembali ke ASC Ehrenberg), tetapi saya belum menemukan apa pun dalam tulisannya yang menjawab pertanyaan ini.

zbicyclist