Distribusi normal

Ada masalah statistik yang sayangnya saya tidak tahu harus mulai dari mana (saya belajar sendiri sehingga tidak ada yang bisa saya tanyakan, jika saya tidak mengerti sesuatu.

Pertanyaannya adalah

$X,Y$ iid$N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

Karena Anda berurusan dengan data normal IID, perlu generalisasi masalah Anda sedikit untuk melihat kasus di mana Anda memiliki $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ dan Anda ingin $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ . (Pertanyaan Anda sesuai dengan kasus di mana $n=2$ ) Seperti yang ditunjukkan oleh pengguna lain, jumlah kuadrat dari variabel acak normal IID adalah skala chi-kuadrat non-sentralvariabel acak, dan varians bunga dapat diperoleh dari pengetahuan distribusi itu. Namun, juga dimungkinkan untuk mendapatkan varian yang diperlukan menggunakan aturan momen biasa, dikombinasikan dengan pengetahuan tentang momen distribusi normal . Saya akan menunjukkan kepada Anda bagaimana melakukan ini di bawah ini, dalam langkah-langkah.

Menemukan varians menggunakan momen dari distribusi normal: Sejak nilai-nilai adalah IID (dan menganggap X sebagai nilai generik dari distribusi ini), Anda memiliki: Q n ≡ V ( n ∑ i = 1 X 2 i$X_1, ..., X_n$$X$ mana kita menyatakan momen mentah sebagaiμ ′ k ≡E(Xk). Momen mentah ini dapat ditulis dengan momen sentralμk≡E((X-E(X))k)dan rata-rataμ ′ 1 =E(X)menggunakanrumus konversi standar

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$$\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$$\mu_1' = \mathbb{E}(X)$, dan kemudian kita dapat melihat momen sentral dari distribusi normal dan menggantinya.

Dengan menggunakan rumus konversi momen, Anda harus mendapatkan: Untuk distribusiX~N(a,b2)kami memiliki meanμ ' 1 =adan tingkat tinggi saat tengahμ2=b2,μ3=0danμ4=

$$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$$\mu_1' = a$$\mu_2 = b^2$$\mu_3 = 0$ . Ini memberi kita momen mentah: μ ′ $\mu_4 = 3 b^4$ Sekarang, coba ganti ini kembali ke ekspresi asli untuk menemukan varian yang menarik. $$\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$

Mengganti kembali ke ekspresi pertama memberi:

$$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$ $n=2$$Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

$X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$

$$\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$$ $$\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$$

$X$$Y$$\text{N} (a, b^2)$$\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$$\chi ^2(2)$

Apakah Anda pikir Anda dapat mengambilnya dari sana?

Jawabannya ada dalam distribusi Chi-squared non-sentral .

$2(k + 2(a^2))$$k=2$$X$$Y$