Distribusi

Saya sedang mengerjakan masalah berikut:

Biarkan dan menjadi variabel acak independen dengan kerapatan bersama mana . Biarkan dan . Cari kepadatan bersama dan karenanya menemukan pdf dari . $X$ $Y$ $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$ $\alpha\geqslant1$ $U=\min(X,Y)$ $V=\max(X,Y)$ $(U,V)$ $U+V$

Sebagai $U+V=X+Y$ , saya hanya bisa menemukan pdf dari $X+Y$ untuk melihat apa pdf of $U+V$ seharusnya.

Saya mendapatkan pdf dari $T=X+Y$ menjadi

\begin{matrix} (1) & f_{T} (t) = \int f (t - y) f (y) d y = α^{2} β^{- 2 α} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} \end{matrix}

$f_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1}$

Tidak yakin apakah integral itu dapat disederhanakan.

Kembali ke pertanyaan aktual, pdf gabungan dari $(U,V)$ diberikan oleh

f_{U, V} (u, v) = 2 f (u) f (v) 1_{0 < u < v < β} = 2 α^{2} β^{- 2 α} (u v)^{α - 1} 1_{0 < u < v < β}

$f_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta}$

Saya melakukan perubahan variabel $(U,V)\to(W,Z)$ dimana $W=U+V$ dan $Z=U$ . Nilai absolut dari jacobian adalah kesatuan. Juga, $0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\beta$ . Jadi pdf marginal dari $W$ adalah

\begin{matrix} (2) & f_{W} (w) = 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z 1_{0 < w < 2 β} \end{matrix}

$f_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2}$

Ada kemungkinan bahwa saya telah membuat beberapa kesalahan dalam dukungan yang tepat dari variabel acak. Mungkin juga integral tidak memiliki solusi dalam hal fungsi dasar. Bagaimanapun, saya tidak bisa melanjutkan dengan integral. Jadi saya bahkan tidak bisa memverifikasi bahwa memiliki pdf yang sama seperti . Tampaknya saya mendapatkan distribusi dan . Dan karena penasaran, apakah distribusi memiliki nama (dalam hal ini saya akan mencari konvolusi dua variabel acak tersebut)? $W=U+V$ $T=X+Y$ $W$ $T$ $X$

Edit.

Melanjutkan dengan integral terakhir saya dapatkan dengan tangan

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = w^{2 α - 1} \int_{0}^{1 / 2} t^{α - 1} (1 - t)^{α - 1} d t = w^{2 α - 1} I_{1 / 2} (α, α) B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)$ di mana adalah fungsi beta lengkap regularized. Menggunakan properti , kita mendapatkan . Jadi akhirnya kita memiliki

I_{x}

$I_{x}$

I_{x} (a, b) = 1 - I_{1 - x} (b, a)

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

I_{1 / 2} (α, α) = \frac{1}{2}

$I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}$

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = \frac{1}{2} w^{2 α - 1} B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)$

Ini menyiratkan bahwa

f_{W} (w) = α^{2} β^{- 2 α} B (α, α) w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta}$

Bahwa ini bukan kerapatan dalam kisaran diberikan mudah dilihat. Jadi saya merasa telah membuat kesalahan besar di suatu tempat. Saya telah memeriksa perhitungan saya dengan Mathematica dan mereka tampaknya setuju. $w$

self-study distributions mathematical-statistics random-variable StubbornAtom
sumber

@ Xi'an Dan jumlah varian beta independen tidak memiliki bentuk pdf tertutup mungkin?

StubbornAtom

@ Xi'an Jadi saya merasa tidak ada yang salah jika saya mengakhiri jawaban saya dengan integral terlepas dari apakah itu memiliki bentuk tertutup dalam hal beberapa fungsi khusus atau tidak?

StubbornAtom

Sebagai generalisasi dari stats.stackexchange.com/questions/41467 (kasus di mana ), pertanyaan ini kemungkinan dapat diselesaikan dengan menggunakan satu atau lebih dari berbagai teknik yang dijelaskan dalam utas itu.

α = 1

$\alpha=1$

whuber

Saya keliru mengatakan bahwa , padahal sebenarnya cukup untuk menjadi kepadatan yang valid. Ini kadang-kadang disebut distribusi fungsi daya . Untuk itu adalah kepadatan beta, dan untuk itu adalah kepadatan yang seragam.

α > 1

$\alpha>1$

α > 0

$\alpha>0$

f

$f$

β = 1

$\beta=1$

α = 1

$\alpha=1$

StubbornAtom

Jawaban:

Karena kita miliki ( ) dan dengan perubahan variabel pada integral kedua dari rhs Demikian pula, ketika

\begin{aligned} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} & = {\begin{cases} \int_{0}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y & when 0 \leq t \leq β \\ \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & when β \leq t \leq 2 β \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}&=\begin{cases} \int_{0}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }0\le t\le \beta\\ \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }\beta\le t\le 2\beta\\ \end{cases}\\ \end{align}$

t < β

$t<\beta$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= \int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

z = t - y

$z=t-y$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = 2 \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= 2\int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

t > β

$t>\beta$ , lagi dengan perubahan variabel pada integral kedua dari rhs. Namun saya tidak dapat memulihkan ekspresi fungsional yang sama untuk kepadatan dalam kasus kedua ini , yaitu

\begin{aligned} \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & = \int_{t - β}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \\ = 2 \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&= \int_{t-\beta}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\\ &=2\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y \end{align*}$

z = t - y

$z=t-y$

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z$

Sekarang, seperti yang ditunjukkan dalam pertanyaan, oleh perubahan skala, yang akan menyiratkan bahwa distribusi bunga memiliki kepadatan yang mengubahnya menjadi distribusi Beta diubah pada , maka dengan kepadatan

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z \propto w^{2 (α - 1) + 1} = w^{2 α - 1}

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z \propto w^{2(\alpha-1)+1}=w^{2\alpha-1}$

f (w) \propto w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w)\propto w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

B (2 α, 1)

${\cal B}(2\alpha,1)$

(0, 2 β)

$(0,2\beta)$

f (w) = {2 β}^{- 2 α} \frac{Γ (2 α + 1)}{Γ (2 α)} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β} = 2 α {2 β}^{- 2 α} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w) = \{2\beta\}^{-2\alpha}\dfrac{\Gamma(2\alpha+1)}{\Gamma(2\alpha)}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}=2\alpha\{2\beta\}^{-2\alpha}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

Ini muncul sebagai kontradiksi ketika mempertimbangkan jawaban luar biasa terperinci dari W. Huber , karena Seragam adalah Beta . Dan karena jumlah dua Seragam bukan variabel acak Beta , tetapi rv dengan kepadatan "tenda". ${\cal B}(1,1)$ ${\cal B}(2,1)$

Selain itu: Secara umum jumlah dari varian Beta bukanlah varian Beta yang lain, "penjelasan" langsung ketika melihat Betas sebagai dua Gammas dinormalisasi oleh jumlah mereka. Menambahkan dua Betas melihat jumlah yang berbeda dalam penyebut.

Masalahnya adalah dengan penurunan kerapatan : karena perubahan variabel mengarah ke dan batasan indikatornya adalah Oleh karena itu, sebagai kesimpulan, yaitu (1) dan bukan ekspresi yang diusulkan (2). $W=U+V$

(U, V) \sim 2 α β^{- 2} [u v]^{α - 1} I_{0 < u < v < β}

$(U,V) \sim 2\alpha \beta^{-2}[uv]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<u<v<\beta}$

(Z, W) = (U, U + V)

$(Z,W)=(U,U+V)$

(Z, W) \sim 2 α β^{- 2} [z (w - z)]^{α - 1} I_{0 < z < w - z < β}

$(Z,W) \sim 2\alpha \beta^{-2}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<z<w-z<\beta}$

0 < z 2 z < w z < β z > w - β 0 < w and w < 2 β

$0<z \quad 2z<w \quad z<\beta \quad z>w-\beta \quad 0<w \quad\text{and}\quad w<2\beta$

W \sim 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{max {0, w - β}}^{min {β, w / 2}} [z (w - z)]^{α - 1} d z I_{0 < w < 2 β}

$W\sim 2\alpha^2 \beta^{-2\alpha}\int_{\max\{0,w-\beta\}}^{\min\{\beta,w/2\}}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\text{d}z\,\mathbb{I}_{0<w<2\beta}$

Xi'an
sumber

Itulah yang saya tanyakan apakah itu setuju dengan (1) atau tidak. Anda mungkin harus menambahkan konstanta yang hilang di dan juga. Terima kasih, tidak heran saya mendapatkan semua hasil yang aneh itu.

(Z, W)

$(Z,W)$

(U, V)

$(U,V)$

StubbornAtom