Bagaimana saya bisa menemukan distribusi normal?

16

Apa derivasi pertama dari distribusi normal, dapatkah Anda mereproduksi derivasi itu dan juga menjelaskannya dalam konteks historisnya ?

Maksud saya, jika manusia lupa tentang distribusi normal, apa cara yang paling mungkin saya temukan kembali dan apa derivasi yang paling mungkin? Saya kira derivasi pertama pasti datang sebagai produk sampingan dari mencoba menemukan cara cepat untuk menghitung distribusi probabilitas diskrit dasar, seperti binomial. Apakah itu benar?

statlearner
sumber
2
Ini tidak terlalu sulit untuk menghasilkan distribusi probabilitas: ambil fungsi integrable positif, normalkanlah, dan dengan demikian Anda memiliki kepadatan probabilitas. Sekarang jika Anda ingin melakukan inferensi berdasarkan kemungkinan dengan keluarga distribusi, Anda perlu logaritma densitas menjadi fungsi cembung sederhana. Lebih tepatnya, jika Anda ingin kemungkinan maksimum untuk meminimalkan fungsi kerugian cembung yang diberikan, maka eksponensial dari kehilangan ini adalah pilihan kepadatan yang tepat. Kesalahan kuadrat memunculkan distribusi Normal, dan mungkin merupakan contoh paling sederhana dari kehilangan cembung.
Olivier
1
@ Olivier, hanya karena Anda dapat menemukan distribusi probabilitas dengan mudah, itu tidak berarti itu berguna atau muncul di mana-mana. Penemuan distribusi gaussian berhubungan dengan memecahkan masalah nyata yang saya duga, bukan hanya menormalkan suatu fungsi.
statslearner
2
Ada sejumlah pertanyaan dan jawaban yang berkaitan dengan sejarah ini, yang mungkin menjawab atau sebagian menjawab pertanyaan Anda.
Glen_b -Reinstate Monica
2
Bagian dalam Wikipedia tentang sejarah en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History layak dibaca. Kesimpulan yang saya ambil adalah bahwa prioritas di sini adalah, seperti yang sering terjadi, masalah perselisihan internasional. Anda dapat memilih dari De Moivre, Laplace, Gauss, ...
mdewey
2
Lihat pertanyaan ini di sini dan jawabannya oleh @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/... Saya kira salah satu cara bagaimana Anda dapat menemukan kembali distribusi normal adalah dengan melakukan pengukuran dan menyadari bahwa ada ketidakpastian / kesalahan terkait dengan pengukuran Anda, yaitu jika Anda mengulangi pengukuran Anda berulang-ulang hasilnya tidak akan sama 100%. Maka Anda ingin mengukur ketidakpastian / kesalahan. Dan kemudian Anda memerlukan kalkulus :) Juga referensi Stahl benar-benar layak dibaca!
Stefan

Jawaban:

7

Saya kira derivasi pertama pasti datang sebagai produk sampingan dari mencoba menemukan cara cepat untuk menghitung distribusi probabilitas diskrit dasar, seperti binomial. Apakah itu benar?

Iya.

Kurva normal dikembangkan secara matematis pada 1733 oleh DeMoivre sebagai perkiraan untuk distribusi binomial . Makalahnya tidak ditemukan sampai 1924 oleh Karl Pearson. Laplace menggunakan kurva normal pada 1783 untuk menggambarkan distribusi kesalahan. Selanjutnya, Gauss menggunakan kurva normal untuk menganalisis data astronomi pada 1809.

Sumber: DISTRIBUSI NORMAL

Sumber-sumber lain dengan konteks historis:

nex=lim(1+xn)nt22

Benoit Sanchez
sumber
Benoit, derivasi DeMoivre sepertinya tidak mendasar, dapatkah Anda memasukkannya ke dalam jawaban Anda ?. Derivasi DeMoivre ini adalah sesuatu yang saya cari (sebagai catatan, apakah Anda tahu jika semua kalkulus dan hasil perkiraan - perkiraan berputar misalnya - sudah tersedia untuk DeMoivre, atau apakah ini versi modern dari buktinya?)
statslearner
1
Ini versi modern. Saya tidak tahu derivasi historis DeMoire. Satu-satunya info sejarah yang saya dapatkan adalah artikel yang ditunjuk oleh Stephan dan saya.
Benoit Sanchez
6

Stahl ("Evolusi Distribusi Normal", Majalah Matematika , 2006) berpendapat bahwa jejak historis pertama normal berasal dari perjudian, perkiraan distribusi binomial (untuk demografi) dan analisis kesalahan dalam astronomi.

S. Kolassa - Reinstate Monica
sumber
4
Ya, tetapi dalam sebagian besar (semua?) Dari kasus-kasus itu distribusi Normal tidak eksplisit. Ini kedengarannya seperti menyimpulkan bahwa Ben Franklin tahu (atau menemukan) Persamaan Maxwell karena ia bereksperimen dengan listrik.
Whuber
Bisakah Anda memberikan derivasi yang penulis ini lakukan?
statslearner
Misalnya, matematika apa yang mereka butuhkan untuk memperolehnya?
statslearner
3

Bagian historis pertanyaan sudah dijawab, mungkin, beberapa kali di forum ini, mis. Lihat jawaban yang diterima untuk pertanyaan serupa. Tidak, itu tidak ditemukan sebagai perkiraan untuk distribusi diskrit. Saya ragu bahkan ada dugaan distribusi probabilitas pada saat itu. Ditemukan oleh orang-orang yang disebut fisikawan atau ahli matematika akhir-akhir ini, saya kira para filsuf alam pada saat itu.

Bagaimana peradaban lain menemukan distribusi normal adalah pertanyaan yang menarik. Siapa pun yang mempelajari kesalahan dan gangguan apa pun akan menemukannya. Itu terjadi sehingga peradaban kita menemukannya saat mempelajari benda langit. Saya ragu bahwa ada kemungkinan bahwa manusia lain akan mengembangkan statistik sebelum fisika atau matematika.

Aksakal
sumber
2

Saya juga bertanya pada diri sendiri pertanyaan itu dan video youtube ini adalah jawaban terbaik yang saya temukan

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

Saya tidak berpikir itu adalah turunan asli tetapi deskripsi dari video mengatakan "Argumen ini diadaptasi dari karya astronom John Herschel pada 1850 dan fisikawan James Clerk Maxwell pada 1860."

Sebastian
sumber
1

Apa yang spesial tentang distribusi normal adalah Teori Batas Pusat. Untuk detail dan derivasi / bukti, lihat: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

elliotp
sumber
11
Ini tidak menjawab pertanyaan.
Whuber
1
Subjek pertanyaannya adalah Bagaimana saya bisa menemukan distribusi normal? dan jawabannya tentu menjawab itu.
G. Grothendieck
1

exp(x2)

Dalam mekanika kuantum, teori informasi, dan termodinamika, entropi mengkuantifikasi keadaan suatu sistem. Dalam bidang ini, keadaan kuantum sebenarnya, sepenuhnya acak atau stokastik. Bandingkan ini dengan mekanika klasik. Dalam mekanika klasik, keadaan tetap tetapi pengamatan kami tidak sempurna karena kontribusi ratusan atau jutaan faktor yang mempengaruhi yang tidak diobservasi: hasil semacam ini menimbulkan CLT.

Dalam mekanika kuantum, kami menggunakan probabilitas Bayesian untuk mengukur keyakinan kami tentang keadaan sistem. Sejalan dengan itu, bukti telah disajikan, dan tweak, bahwa Gaussian atau variabel acak normal memiliki entropi maksimum di antara semua variabel acak dengan mean rata-rata atau standar deviasi.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

AdamO
sumber