Kemungkinan kisaran

Misalkan ada tiga deret waktu, , dan$X_1$$X_2$$Y$

Menjalankan regresi linier biasa pada ~ ( ), kita mendapatkan . Regresi linier biasa ~ mendapatkan . Asumsikan$Y$$X_1$$Y = b X_1 + b_0 + \epsilon$$R^2 = U$$Y$$X_2$$R^2 = V$$U < V$

Berapa nilai minimum dan maksimum yang mungkin dari pada regresi ~ ( )?$R^2$$Y$$X_1 + X_2$$Y = b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_0 + \epsilon$

Saya percaya minimum harus + nilai kecil, karena menambahkan variabel baru selalu meningkatkan , tapi saya tidak tahu bagaimana mengukur nilai kecil ini, dan saya tidak tahu cara mendapatkan rentang maksimum .$R^2$$V$$R^2$

1) EDIT: komentar Kardinal bawah menunjukkan bahwa jawaban yang benar untuk min pertanyaan adalah . Karenanya saya menghapus jawaban "menarik", tetapi akhirnya salah, pada bagian pos OP.$R^2$$V$

2) Maksimum adalah 1. Pertimbangkan contoh berikut, yang sesuai dengan kasus Anda.$R^2$

x1 <- rnorm(100)
x2 <- rnorm(100)
y <- x1 + 2*x2

> summary(lm(y~x1))$r.squared
[1] 0.2378023                 # This is U
> summary(lm(y~x2))$r.squared
[1] 0.7917808                 # This is V; U < V
> summary(lm(y~x1+x2))$r.squared
[1] 1

Di sini kita memperbaiki varians dari di 0. Jika Anda ingin , semuanya berubah sedikit. Anda bisa mendapatkan mendekati angka 1 dengan membuat lebih kecil dan lebih kecil, tetapi, seperti masalah minimum, Anda tidak bisa sampai di sana, jadi tidak ada yang maksimum. 1 menjadi supremum , karena selalu lebih besar dari tetapi juga batas sebagai .σ 2 ϵ > 0 R 2 σ 2 ϵ R 2 σ 2 ϵ → $\epsilon$$\sigma^2_\epsilon > 0$$R^2$$\sigma^2_\epsilon$$R^2$$\sigma^2_\epsilon \to 0$

Biarkan sama dengan korelasi antara X 1 dan X 2 , r 1 , Y sama dengan korelasi antara X 1 dan Y , dan r 2 , Y korelasi antara X 2 dan Y . Kemudian R 2 untuk model lengkap dibagi dengan V sama dengan$r_{1,2}$$X_1$$X_2$$r_{1,Y}$$X_1$$Y$$r_{2,Y}$$X_2$$Y$$R^2$$V$

Jadi untuk model penuh sama dengan V hanya jika r 1 , 2 = 0 dan r 2 1 , Y = U = 0 atau$R^2$$V$$r_{1,2} = 0$$r_{1,Y}^2 = U = 0$

Jika , R 2 untuk model penuh sama U + V .$r_{1,2} = 0$$R^2$$U + V$

Tanpa kendala pada dan V , maka minimum adalah V , dan kemudian maksimum adalah min yang lebih kecil ( V + U , 1 ) . Hal ini karena dua variabel dapat berkorelasi sempurna (dalam hal menambahkan variabel kedua tidak mengubah R 2 sama sekali) atau mereka bisa menjadi orthogonal dalam hal termasuk kedua hasil di U + V . Benar ditunjukkan dalam komentar bahwa ini juga mengharuskan masing-masing ortogonal ke 1 , vektor kolom 1s.$U$$V$$V$$\min(V + U, 1)$$R^2$$U + V$$\mathbf{1}$

Anda menambahkan kendala . Namun, masih mungkin bahwa U = 0 . Yaitu, X 1 ⊥ Y , dalam hal ini, min = maks = V + 0 . Akhirnya, adalah mungkin bahwa X 1 ⊥ X 2 sehingga batas atas masih min ( V + U , 1 ) .$U < V \implies X_{1} \neq X_{2}$$U = 0$$X_{1} \perp Y$$\min = \max = V + 0$$X_{1} \perp X_{2}$$\min(V + U, 1)$

Jika Anda tahu lebih banyak tentang hubungan antara dan X 2 , saya pikir Anda bisa mengatakan lebih banyak.$X_{1}$$X_{2}$