Menampilkan

9

Jika XC(0,1) , temukan distribusi .Y=2X1X2

Kami memilikiFY(y)=Pr(Yy)

=Pr(2X1X2y)

={Pr(X(,11+y2y])+Pr(X(1,1+1+y2y]),ify>0Pr(X(1,1+1+y2y])+Pr(X(1,11+y2y]),ify<0

Saya ingin tahu apakah perbedaan kasus di atas benar atau tidak.

Di sisi lain, berikut ini tampaknya metode yang lebih sederhana:

Kita dapat menulis menggunakan identitas 2 tan zY=tan(2tan1X)2tanz1tan2z=tan2z

Sekarang, XC(0,1)tan1XR(π2,π2)

2tan1XR(π,π)

, yang terakhir adalah transformasi 2-ke-1.tan(2tan1X)C(0,1)

Tetapi jika saya diminta untuk mendapatkan distribusi dari definisi, saya kira metode pertama adalah bagaimana saya harus melanjutkan. Perhitungannya menjadi sedikit berantakan, tetapi apakah saya mencapai kesimpulan yang benar? Setiap solusi alternatif juga diterima.Y


Distribusi Univariat Berkelanjutan (Vol.1) oleh Johnson-Kotz-Balakrishnan telah menyoroti properti distribusi Cauchy ini. Ternyata, ini hanya kasus khusus dari hasil umum.

masukkan deskripsi gambar di sini

masukkan deskripsi gambar di sini

StubbornAtom
sumber
4
Solusi kedua sepenuhnya benar, jadi seharusnya tidak ada keberatan untuk itu.
Xi'an
1
Addendum: sejak , resolusi pertama harus berakhir dengan menggunakan identitas ini pada tangen. P(X<x)=tan1(x)/π+1/2
Xi'an
@ Xi'an Sebenarnya saya mencoba untuk menyelesaikan argumen dalam metode pertama.
StubbornAtom

Jawaban:

6

Cara alternatif, lebih sederhana, untuk melihatnya:

f(x)dx=π1x2+1dx

u(x)=2x1x2andx1(u)=1u2+1u,x2(u)=1+u2+1u

g(u)du=i=1,2f(xi(u))|dxidu|du

Jika Anda bekerja dengan itu, yang tidak perlu menjadi berantakan, maka Anda akan mendapatkannya

g(u)=π1u2+1

representasi grafis

representasi grafis intuitif transformasi


2tanz1tan2z=tan2z

FY(y)=Pr(Yy)fY(y)=Pr(y12dyYy+12dy)

Sextus Empiricus
sumber
2
x(u)uxi(u)=ui=1,2,n
g(u)=i=1nf(xi(u))|dxi(u)du|.
@DilipSarwate saya akan mengubahnya.
Sextus Empiricus
3

Transformasi dalam pendekatan kedua tampaknya kurang motivasi (beberapa detail dalam hal itu juga perlu diisi). Di sini, dari perhitungan fungsi karakteristik, saya mencoba untuk mendukung transformasi "misterius" Anda.

Y

φY(t)=E[eitY]=eit2x1x21π(1+x2)dx=1πeit2x1x2darctanx,
u=arctanx
(1)φY(t)=1ππ/2π/2eit2tanu1tan2udu=1ππ/2π/2eittan(2u)du.

(1)X

φX(t)=eitx1π(1+x2)dx(2)=1ππ/2π/2eittanudu

(1)(2)tan()(1)

φY(t)=1ππ/2π/2eittan(2u)du=12πππeittanvdv(Change of variable v=2u)=12π[ππ/2+π/2π/2+π/2π]eittanudu=12φX(t)+12πππ/2eittanvdv+12ππ/2πeittanvdv(3)=12φX(t)+12ππ/20eittanu1du1+12π0π/2eittanu2du2(4)=12φX(t)+12ππ/2π/2eittanvdv=φX(t)(5)

(3)utan(u)(π,π)

(4)u1=πvu2=πv

(5)u=v

(3)(5)

Zhanxiong
sumber
ΘRect(π/2,π/2)tan(Θ)C(0,1)URect(π,π)V=tanUC(0,1)
FV(v)=Pr(tanUv)=FU(tan1v)vfV(v)=fU(tan1v)2ddv(tan1v)(π,π)