Biarkan menjadi independen dan terdistribusi secara acak, variabel acak seragam standar.
Harapan mudah:
Sekarang untuk bagian yang membosankan. Untuk menerapkan LOTUS, saya akan membutuhkan pdf dari . Tentu saja pdf dari jumlah dua variabel acak independen adalah konvolusi pdf mereka. Namun, di sini kita memiliki variabel acak dan saya kira konvolusi akan mengarah ke ... ekspresi berbelit-belit (kata-kata yang mengerikan dimaksudkan). Apakah ada cara yang lebih pintar?
Saya lebih suka melihat solusi yang tepat , tetapi jika tidak mungkin atau terlalu rumit, perkiraan asimptotik untuk besar bisa diterima. Dengan ketidaksetaraan Jensen, saya tahu itu
Tetapi ini tidak banyak membantu saya, kecuali saya dapat menemukan juga batas bawah yang tidak sepele. Perhatikan bahwa CLT tidak secara langsung berlaku di sini, karena kami memiliki akar kuadrat dari jumlah RV independen, bukan hanya jumlah RV independen. Mungkin ada teorema batas lain (yang saya abaikan) yang mungkin bisa membantu di sini.
Jawaban:
Salah satu pendekatan adalah pertama menghitung fungsi momen menghasilkan (mgf) dari didefinisikan oleh mana adalah independen dan terdistribusi secara seragam, variabel acak seragam standar .Yn Yn= U21+ ⋯ + U2n Usaya, i = 1 , … , n
Ketika kita memilikinya, kita dapat melihat bahwa adalah momen pecahan dari dari pesanan . Kemudian kita dapat menggunakan hasil dari makalah Noel Cressie dan Marinus Borkent: "The Moment Generating Function memiliki Moments-nya", Jurnal Perencanaan Statistik dan Inferensi 13 (1986) 337-344, yang memberikan momen pecahan melalui diferensiasi fraksional dari fungsi pembangkit momen .EYn--√ Yn α = 1 / 2
Pertama, fungsi penghasil momen , yang kami tulis . dan saya mengevaluasi itu (dengan bantuan Maple dan Wolphram Alpha) untuk memberikan mana adalah unit imajiner. (Wolphram Alpha memberikan jawaban yang sama, tetapi dalam hal integral Dawson. ) Ternyata kita sebagian besar membutuhkan kasus untuk . Sekarang mudah untuk menemukan mgf : Kemudian untuk hasil dari kertas yang dikutip. UntukU21 M.1( t ) M.1( t ) = Eet U21= ∫10et x2 x--√dx M.1( t ) = erf( - t--√) π--√2 - t--√ i = - 1---√ t<0YnMn(t)=M1(t)nμ>0μfIμf(t)≡Γ(μ) - 1 ∫ t - ∞ (t-z) μ - 1 f(z)t < 0 Yn M.n( t ) = M1( t )n μ > 0 mereka menentukan th rangka integral dari fungsi sebagai
Kemudian, untuk dan non-integral, bilangan bulat positif, dan sedemikian rupa sehingga . Kemudian turunan dari of order didefinisikan sebagai
Kemudian mereka menyatakan (dan membuktikan) hasil berikut, untuk variabel acak positif : Misalkan (mgf) didefinisikan. Lalu, untukμ f sayaμf( t ) ≡ Γ ( μ )- 1∫t- ∞( t - z)μ - 1f( z)dz α > 0 n 0 < λ < 1 α = n - λ f α Dαf( t ) ≡ Γ ( λ )- 1∫t- ∞( t - z)λ - 1dnf( z)dzndz. X M.X α > 0 D α M X ( 0 ) = E X α < ∞ Y n α = 1 / 2 E Y 1 / 2 n = D 1 / 2 M n ( 0 ) = Γ ( 1 / 2 ) - 1 ∫ 0 - ∞ | z | ,
Sekarang kita dapat mencoba menerapkan hasil ini ke . Dengan kita menemukan
mana prime menunjukkan turunan. Maple memberikan solusi berikut:
Saya akan menunjukkan plot harapan ini, dibuat di maple menggunakan integrasi numerik, bersama dengan solusi perkiraanDαM.X( 0 ) = EXα< ∞ Yn α = 1 / 2 EY1 / 2n= D1 / 2M.n( 0 ) = Γ ( 1 / 2 )- 1∫0- ∞| z|- 1 / 2M.′n(z)dz ∫0- ∞n ⋅ ( erf( - z---√) π--√- 2 ez- z---√) en ( - 2 ln2 + 2 ln( erf( - z√) ) - ln( -z) + ln( π) )22 π( - z)3 / 2erf( - z---√)dz A ( n ) = n / 3 - 1 / 15---------√ dari beberapa komentar (dan dibahas dalam jawaban oleh @Henry). Mereka sangat dekat:
Sebagai pelengkap, plot kesalahan persentase:
Di atas sekitar aproksimasi mendekati tepat. Di bawah kode maple yang digunakan:n = 20
sumber
Sebagai komentar yang diperluas: tampaknya jelas di sini bahwa dimulai dengan ketika dan kemudian mendekati dengan meningkat, terkait dengan varian jatuh dari menuju . Pertanyaan saya yang ditautkan yang dijawab oleh S.Catterall memberikan justifikasi untuk asymptotic berdasarkan setiap memiliki mean dan variansE[ Yn--√] = E[ ∑sayaX2saya------√] E[ Yn--√] = 12= n3- 112------√ n = 1 n3- 115------√ n Yn--√ 112 115 n3−115−−−−−−√ X2i 13 445 , dan untuk distribusinya kira-kira normal dan asimptotik.
Pertanyaan ini secara efektif tentang distribusi jarak dari titik asal acak dalam satuan hipcube -dimensi . Ini mirip dengan pertanyaan tentang distribusi jarak antara titik-titik dalam hypercube , jadi saya dapat dengan mudah menyesuaikan apa yang saya lakukan di sana untuk menunjukkan kepadatan untuk berbagai dari hingga menggunakan konvolusi numerik. Untuk , perkiraan normal yang disarankan berwarna merah cocok, dan dari Anda dapat melihat kurva lonceng muncul.n [0,1]n n 1 16 n=16 n=4
Untuk dan Anda mendapatkan puncak yang tajam pada mode dengan apa yang tampak seperti kepadatan yang sama di kedua kasus. Bandingkan ini dengan distribusi , di mana kurva lonceng muncul dengan dan di mana sebanding dengann=2 n=3 1 ∑iXi n=3 n
sumber