Apa yang lebih tinggi, atau

Jadi saya memiliki tes probabilitas dan saya tidak bisa menjawab pertanyaan ini. Itu hanya bertanya seperti ini:

"Menimbang bahwa adalah variabel acak, 0 , gunakan ketidaksetaraan yang benar untuk membuktikan apa yang lebih tinggi atau sama, E (X ^ 2) ^ 3 atau E (X ^ 3) ^ 2 .$X$$X$ $\geqslant$ E ( X 2 ) 3 E ( X 3 ) $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

Satu-satunya hal yang bisa saya pikirkan adalah Ketimpangan Jensen, tetapi saya tidak benar-benar tahu bagaimana menerapkannya di sini.

Ini memang bisa dibuktikan dengan ketidaksetaraan Jensen.

Petunjuk : Perhatikan bahwa untuk fungsi adalah cembung di (Di situlah Anda menggunakan asumsi ). Kemudian ketidaksamaan Jensen memberikan dan untuk , itu adalah sebaliknya.x α [ 0 , - ∞ ) X ≥ 0 E [ Y ] α ≤ E [ Y α ] α < $\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Sekarang, ubah variabel menjadi sesuatu yang sebanding, dan temukan relevan .$\alpha$

Ketidaksetaraan Lyapunov (Lihat: Casella dan Berger, Inferensi Statistik 4.7.6):

Untuk : E [ | X | r ] $1 < r < s < \infty$

Bukti :

Oleh ketidaksamaan Jensens untuk cembung :ϕ ( E X ) $\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Pertimbangkan , lalu mana ( E [ Y ] ) t ≤ E [ Y t ] $\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Pengganti : (E[|$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Secara umum untuk ini berarti:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Misalkan X memiliki distribusi seragam pada [0,1] maka E (X ) = dan begitu E (X ) = dan E ( X ) = jadi E (X ) = . Jadi dalam hal ini E (X ) > E (X ) . Bisakah Anda menggeneralisasi ini atau menemukan contoh tandingan?$^2$ 23$\frac{1}{3}$$^2$$^3$ 3$\frac{1}{27}$$^3$ 3$\frac{1}{4}$$^3$$^2$ 322$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$