Dalam sebagian besar mata kuliah teori probabilitas dasar, fungsi menghasilkan momen yang Anda katakan (mgf) berguna untuk menghitung momen dari variabel acak. Khususnya harapan dan varians. Sekarang di sebagian besar program contoh yang mereka berikan untuk harapan dan varians dapat diselesaikan secara analitis menggunakan definisi.
Adakah contoh nyata dari distribusi di mana menemukan ekspektasi dan varians sulit dilakukan secara analitis sehingga penggunaan mgf diperlukan? Saya bertanya karena saya merasa tidak tahu persis mengapa mereka penting dalam kursus dasar.
Ada banyak masalah di mana sulit untuk menemukan mean dan varians menggunakan rumus standar mereka sebagai jumlah / integral dari massa / kepadatan. Salah satu contoh di mana ini sulit, tetapi bukan tidak mungkin, adalah distribusi pengumpul kupon , yang memiliki fungsi massa probabilitas:
dimana fungsinyaS menunjukkan angka Stirling dari jenis kedua . Jika Anda mencoba menggunakan metode standar di sini, Anda akan berakhir dengan rumus rekursif yang melibatkan angka-angka Stirling, dan ini tidak praktis untuk digunakan. Metode yang lebih sederhana untuk mendapatkan rata-rata dan varians adalah untuk mendapatkan fungsi pembangkit kumulans (logaritma fungsi pembangkit momen) yang tidak lagi berisi angka Stirling. Maka relatif sederhana untuk memperoleh kumulant distribusi. Saya sarankan Anda mencoba latihan ini melalui kedua metode untuk melihat apa yang saya maksud.
sumber