Bisakah kita menyimpulkan dari bahwa independen?

Yah, kita tidak bisa, lihat misalnya https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence untuk counterexample yang menarik. Tetapi pertanyaan sebenarnya adalah: Apakah ada cara untuk memperkuat kondisi sehingga kemerdekaan mengikuti? Misalnya, apakah ada beberapa rangkaian fungsi sehingga jika untuk semua maka independensi mengikuti? Dan, seberapa besar seperangkat fungsi itu, tak terbatas? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

Dan, di samping itu, adakah referensi yang baik yang memperlakukan pertanyaan ini?

probability mathematical-statistics references random-variable independence kjetil b halvorsen
sumber

apakah Anda beruntung dengan ini? Saya ingin melihat apakah ada seperangkat fungsi terbatas yang berfungsi untuk setiap RV, dan terutama pembenarannya adalah sesuatu selain faktorisasi CDF

jld

Saya akan memeriksanya! Saya ragu ada secara umum himpunan terbatas, tetapi himpunan apa pun yang merupakan dasar dari himpunan fungsi linear harus dilakukan (jadi misalnya, jika keduanya memiliki nilai dalam maka a set fungsi fungsi polinomial independen (atau lainnya) harus dilakukan.

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

kjetil b halvorsen

Jawaban:

Biarkan menjadi ruang probabilitas. Menurut definisi dua variabel acak independen jika -algebras dan adalah independen, yaitu kita memiliki . $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Biarkan dan ambil (terima kasih kepada @grand_chat karena menunjukkan bahwa sudah mencukupi). Maka kita memiliki dan $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Jika kita mengasumsikan bahwa maka kita dapat naik banding ke teorema untuk menunjukkan bahwa yaitu . $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Jadi, kecuali saya telah melakukan kesalahan, setidaknya kita punya koleksi fungsi-fungsi yang dapat dihitung dan ini berlaku untuk setiap pasangan variabel acak yang didefinisikan pada ruang probabilitas umum.

jld
sumber

Apa yang telah Anda perlihatkan, sebenarnya? Meskipun Anda telah menetapkan koleksi fungsi yang tak terhitung, di mana Anda telah mendemonstrasikan semua itu diperlukan? Sulit membayangkan jumlah fungsi seperti itu diperlukan ketika dan masing-masing memiliki himpunan nilai yang terbatas, misalnya.

X

$X$

Y

$Y$

Whuber

@whuber saya mencoba menjawab pertanyaan, apakah ada kumpulan fungsi seperti itu atau tidak. Saya setuju bahwa aspek yang lebih menarik adalah menemukan set minimal (yang masih saya kerjakan)

jld

Anda dapat mengurangi ke himpunan yang dapat dihitung dengan mempertimbangkan hanya rasional .

G

$G$

a

$a$

grand_chat

@ Grand_chat poin bagus, saya telah memperbarui

jld