Dalam pengaturan di mana seseorang mengamati didistribusikan dari distribusi dengan kepadatan , saya ingin tahu apakah ada penduga yang tidak bias (berdasarkan ) dari jarak Hellinger ke distribusi lain dengan kepadatan , yaitu
20
Dalam pengaturan di mana seseorang mengamati didistribusikan dari distribusi dengan kepadatan , saya ingin tahu apakah ada penduga yang tidak bias (berdasarkan ) dari jarak Hellinger ke distribusi lain dengan kepadatan , yaitu
Jawaban:
Tidak ada estimator berisi salah satu dari atau H 2 ada untuk f dari setiap kelas nonparametrik cukup luas distribusi.H H2 f
Kita dapat menunjukkan ini dengan argumen sederhana yang indah
Perbaiki beberapa distribusi , F , dan G , dengan kepadatan yang sesuai f 0 , f , dan g . Mari H ( F ) masing menunjukkan H ( f , f 0 ) , dan biarkan H ( X ) akan beberapa estimator dari H ( F ) berdasarkan n sampel iid X i ~ F .F0 F G f0 f g H(F) H(f,f0) H^(X) H(F) n Xi∼F
Misalkan H adalah berisi sampel dari setiap distribusi dari bentuk M α : = α F + ( 1 - α ) G . Tapi kemudian Q ( α )H^
Sekarang, mari kita mengkhususkan diri pada kasus yang masuk akal dan menunjukkan bahwa sesuai bukanlah polinomial.Q
Misalkan adalah beberapa distribusi yang memiliki kerapatan konstan pada [ - 1 , 1 ] : f 0 ( x ) = c untuk semua | x | ≤ 1 . (Perilakunya di luar rentang itu tidak masalah.) Misalkan F adalah distribusi yang hanya didukung pada [ - 1 , 0 ] , dan G beberapa distribusi hanya didukung pada [ 0 , 1 ] .F0 [−1,1] f0(x)=c |x|≤1 F [−1,0] G [0,1]
Sekarang manaBF:=∫R√
tidak polinomial dari setiap tingkat yang terbatas. Dengan demikian, tidak ada estimator H dapat berisi untukHpada semua distribusiMαdengan finitely banyak sampel.1−α−−√BF−1−α−−−−−√BG−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ H^ H Mα
Demikian juga, karena juga tidak polinomial, tidak ada estimator untuk H 2yang berisi tentang semua distribusiMαdengan finitely banyak sampel.1−α−−√BF−1−α−−−−−√BG H2 Mα
Ini mengecualikan hampir semua kelas distribusi nonparametrik yang masuk akal, kecuali untuk kelas dengan kepadatan yang dibatasi di bawah ini (asumsi analisis nonparametrik kadang-kadang dibuat). Anda mungkin bisa membunuh kelas-kelas itu juga dengan argumen serupa dengan hanya membuat kepadatan konstan atau sesuatu.
sumber
Saya tidak tahu bagaimana membangun (jika ada) penduga yang tidak bias dari jarak Hellinger. Tampaknya mungkin untuk membuat penduga yang konsisten. Kami memiliki beberapa kepadatan dikenal tetap , dan sampel acak X 1 , ... , X n dari kepadatan f > 0 . Kami ingin memperkirakan H ( f , f 0 ) = √f0 X1,…,Xn f>0 = √
sumber