Ini adalah pertanyaan yang sangat sederhana tetapi saya tidak dapat menemukan derivasi di mana pun di internet atau dalam buku. Saya ingin melihat derivasi bagaimana seseorang Bayesian memperbarui distribusi normal multivariat. Sebagai contoh: bayangkan itu
Setelah mengamati serangkaian , saya ingin menghitung . Saya tahu bahwa jawabannya adalah mana
Saya mencari derivasi dari hasil ini dengan semua aljabar matriks menengah.
Bantuan apa pun sangat kami hargai.
Jawaban:
Dengan distribusi pada vektor acak kami:
Menurut aturan Bayes, distribusi posterior terlihat seperti:
Begitu:
Yang merupakan kepadatan log seorang Gaussian:
Menggunakan identitas Woodbury pada ekspresi kami untuk matriks kovarians:
Yang menyediakan matriks kovarians dalam bentuk OP yang diinginkan. Menggunakan ungkapan ini (dan simetrinya) lebih jauh dalam ungkapan untuk mean yang kita miliki:
Yang merupakan bentuk yang dibutuhkan oleh OP untuk mean.
sumber