Buktikan bahwa jika momen yang lebih tinggi ada maka momen yang lebih rendah juga ada

The $r$ saat -th dari variabel acak adalah terbatas jika $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Saya mencoba untuk menunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif , maka momen -th juga terbatas. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function Nona
sumber

Apakah ini pekerjaan rumah? Jika demikian, apa yang sudah Anda coba sejauh ini? Selain itu, saya mencoba membuat pertanyaan Anda lebih mudah dibaca, beri tahu saya jika saya membuat kesalahan.

Gschneider

Saya membaca buku teks billingsley dan mencari di internet tetapi tidak ada bukti yang pasti. Apa yang saya temukan hanyalah petunjuk mungkin ketidaksetaraan jensen dapat digunakan.

nona

Pertimbangkan menulis ulang

| X^{r} |

$|X^r|$ sebagai

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$ dan lihat apakah itu membawa Anda kemana saja.

Gschneider

Ada perbedaan antara saat yang ada dan yang terbatas . Secara khusus, suatu momen dapat eksis, tetapi tidak terbatas. Terminologi yang Anda perkenalkan agak tidak tepat. Dalam hal apapun, ini adalah hasil standar tentang

L_{p}

$L_p$ ruang; tidak benar bahwa "tidak ada bukti pasti". :)

kardinal

Jawaban:

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

Tugas
sumber

Baik. Anda juga bisa membuktikannya dengan bantuan ketidaksetaraan Jensen.

Stéphane Laurent

(+1) Saya suka ini karena hanya mengandalkan sifat harapan yang paling mendasar, yaitu monotonisitas. Jika seseorang khawatir tentang apa yang harus dilakukan dengan sisi kanan, mereka dapat mencatat bahwa . Jika seseorang lebih suka aplikasi Jensen, mereka dapat menulis dan perhatikan bahwa .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

kardinal

@ cardinal: (+1) Saya lebih suka ketidaksetaraan Anda karena langsung melibatkan ...

| X |^{r}

$|X|^r$

Xi'an