Rata-rata harmonik meminimalkan jumlah kesalahan relatif kuadrat

Saya mencari referensi di mana terbukti bahwa rata-rata harmonik

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{saya = 1}^{n} \frac{1}{x_{saya}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

meminimalkan (dalam $z$ ) jumlah kesalahan relatif kuadrat

\sum_{saya = 1}^{n} (\frac{(x_{saya} - z)^{2}}{x_{saya}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

references mean error weighted-regression harmonic-mean Martin Van der Linden
sumber

Jawaban:

Mengapa Anda membutuhkan referensi? Ini adalah masalah kalkulus sederhana: Untuk masalah seperti yang Anda rumuskan, kita harus menganggap bahwa semua . Kemudian menentukan fungsi $x_i > 0$ Kemudian menghitung derivatif sehubungan dengan:

f (z) = \sum_{saya = 1}^{n} \frac{(x_{saya} - z)^{2}}{x_{saya}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

kemudian menyelesaikan persamaan

memberikan solusi. Sekarang, tentu saja kita harus memeriksa apakah ini memang minimum, untuk itu hitung turunan kedua:

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{saya = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{saya}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

untuk ketimpangan terakhir yang kami gunakan, akhirnya, semua

. Tanpa asumsi itu, kita memang bisa mengambil risiko bahwa kita telah menemukan maksimum!

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{saya = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{saya}}) = 2 \sum_{saya = 1}^{n} \frac{1}{x_{saya}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$

Adapun referensi, mungkin https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean atau https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean atau referensi di dalamnya.

kjetil b halvorsen
sumber

Terima kasih atas jawaban anda. Referensi akan menghemat ruang. Saya ingin mengutip hasilnya sebagai Lemma menjadi bukti lain tanpa harus menyertakan bukti Lemma yang lengkap.

Martin Van der Linden

Sulit untuk menemukan referensi eksplisit, itu dianggap dasar untuk pantas mendapatkan satu! Tidak bisakah Anda mengatakan bahwa bukti adalah latihan dasar kalkulus?

kjetil b halvorsen

Sebagai dasar seperti itu, saya selalu lebih suka memberikan referensi. Tetapi saya mengerti bahwa hasil dasar sulit untuk menemukan referensi, dan menyerahkan bukti kepada pembaca jelas merupakan pilihan.

Martin Van der Linden

Ping sementara di luar topik: pertimbangkan untuk memilih sinonim spearman-> spearman-rho di sini stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonim . Terima kasih

amoeba berkata Reinstate Monica

$1/x_i$

$\beta$

\sum ω_{saya} (y_{saya} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

$x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{saya} x_{saya} ω_{saya}}{\sum_{saya} ω_{saya}} = \frac{\sum_{saya} x_{saya} / x_{saya}}{\sum_{saya} 1 / x_{saya}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{saya}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

Komentar

Analisis yang sama berlaku untuk setiap set bobot positif, memberikan generalisasi rata-rata harmonik dan cara yang berguna untuk menggambarkannya.
$x_i$
$x_i$ $W$

Referensi

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck, dan G. Geoffrey Vining, Pengantar Analisis Regresi Linier. Edisi Kelima. J. Wiley, 2012. Bagian 5.5.2.

whuber
sumber