Perusahaan elektronik menghasilkan perangkat yang berfungsi dengan baik 95% dari waktu

8

Perusahaan elektronik menghasilkan perangkat yang berfungsi dengan baik 95% dari waktu. Perangkat baru dikirim dalam kotak 400. Perusahaan ingin menjamin bahwa k atau lebih banyak perangkat per kotak berfungsi. Apa k terbesar sehingga setidaknya 95% kotak memenuhi garansi?

Mencoba: Saya tahu saya harus menggunakan Teorema Limit Pusat untuk masalah ini, tetapi tidak yakin N apa yang harus di setup karena ada 400 perangkat di setiap kotak dan jumlah kotak tidak diketahui. Adakah yang bisa memberi saya petunjuk tentang pengaturan? Terima kasih!

Daniel T
sumber
3
Perhatikan bahwa ini adalah pertanyaan "dunia nyata" yang mengerikan. Dalam sesuatu seperti manufaktur elektronik mungkin ada alasan produksi yang bagus jika 1 dari 20 gagal. Itu adalah tingkat astronomi yang buruk. Berarti Anda harus mengharapkan kebalikan dari distribusi acak. Satu-satunya cara untuk mengandalkan perangkat k adalah jika Anda secara acak mendistribusikan perangkat di berbagai varian waktu dan beralih ke banyak kotak berisi 400. Beberapa perusahaan masih benar-benar melakukan ini.
blankip
@blankip Saya percaya pembuatan chip menghasilkan cacat jauh lebih acak dari itu. Tetapi tentu saja mereka memiliki kontrol kualitas, sehingga tingkat cacat akan rendah di antara perangkat yang benar-benar dikirim ke pelanggan.
CodesInChaos
1
Pertanyaannya bernada buruk. Seharusnya dikatakan 95% dari produk yang mereka hasilkan bekerja. Jika mereka bekerja 95% dari waktu, tidak ada yang bekerja dengan andal, jadi tidak ada yang benar-benar bekerja. Kecuali jika desain aslinya ingin mereka bekerja hanya 95% dari waktu, dalam hal ini mereka baik-baik saja.
David

Jawaban:

10

Anda harus menganggap perangkat dalam kotak apa pun independen. Ketika itu terjadi, jumlah perangkat yang bekerja di dalam kotak apa pun harus mengikuti distribusi Binomial. Parameternya adalah400 (jumlah perangkat dalam kotak) dan .95 (tingkat kerja).

Misalkan Anda jamin katau lebih banyak perangkat per pekerjaan kotak. Anda mengatakan bahwa setidaknya 95% dari semua kotak tersebut mengandungkatau lebih banyak perangkat yang berfungsi. Dalam bahasa variabel acak dan distribusi, Anda menyatakan bahwa kemungkinan Binomial(400,0.95) variabel sama atau melebihi k setidaknya 95%. Solusinya ditemukan dengan menghitung10095= persentil kelima dari distribusi ini. Satu-satunya bagian yang sulit adalah karena ini adalah distribusi diskrit, kita harus berhati-hati untuk tidak menjadi salah satu dari jawaban kita.

R memberitahu kita persentil kelima adalah k=373:

qbinom(.05, 400, .95)

373

Mari kita periksa dengan menghitung peluang untuk menyamakan atau melebihi nilai ini:

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9520076

(Agak kontra-intuitif, bagi saya setidaknya, adalah bahwa lower.tail=FALSEargumen R's pbinomfungsi tersebut tidak termasuk nilai argumen. Jadi, pbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE)menghitung kesempatan dikaitkan dengan hasil yang ketat lebih besar dari k.)

Sebagai pemeriksaan ulang, mari pastikan bahwa kami tidak dapat menjamin nilai yang lebih besar:

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9273511

Jadi, ambang batas 0,95 jatuh di antara dua probabilitas berturut-turut ini.

Dengan kata lain, kami telah menemukan itu

Dalam jangka panjang 95.2% kotak akan berisi k=373 atau lebih banyak perangkat yang berfungsi, tetapi hanya 92.7% dari mereka akan mengandung 374atau lebih banyak perangkat yang berfungsi. Karena itu kita tidak boleh menjamin lebih dari373 jika kita mau 95% atau lebih banyak kotak untuk memenuhi standar ini.

Kebetulan, distribusi normal ternyata menjadi perkiraan yang sangat baik untuk pertanyaan khusus ini. (Daripada menampilkan jawaban yang akan Anda dapatkan, saya akan menyerahkan kepada Anda untuk melakukan perhitungan, karena Anda meminta informasi hanya tentang cara mengatur masalah.)

Plot ini membandingkan fungsi distribusi Binomial dengan probabilitas Normal yang diperkirakan.

angka

Keduanya tidak sepenuhnya setuju - tapi dekatk=373 mereka memang sangat dekat.

whuber
sumber
Saya percaya jawabannya adalah k = 373, bukan 372. Probabilitas 373 atau lebih perangkat yang berfungsi adalah
x=373400(400x)(0,95)x(1-0,95)400-x0,952
yang lebih besar dari yang dibutuhkan 95%.
Seeker14491
@Seeker Terima kasih atas koreksi itu. Saya telah memperbaiki eksposisi untuk mencerminkannya.
whuber
2

"Setidaknya" dari "setidaknya 95%" berarti "min".

Kode:

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

Hasil:

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

Ketika saya melihat ini, saya melihat bahwa nilai minimum untuk tarif adalah 89%. Ini berarti bahwa dalam setengah juta percobaan, kasus terburuk adalah 89% berfungsi.

89% dari 400 adalah 356. Ini memberi sekitar 100%, bukan 95%. Kemungkinan 100% aktual lebih rendah dari ini.

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

hasil:

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

93.25% dari 400 adalah 373. Ini bukan tepi data, tetapi interior, sehingga kemungkinan merupakan perkiraan yang baik. Jawaban Anda akan mendekati 373.

EngrStudent
sumber
2
Memasukkan "distribusi nilai ekstrim" di mana Anda saat ini memiliki rbinom ? Yang manakah yang ada dalam pikiran Anda?
Mike Hunter
2
Analisis ini menunjukkan bahwa dalam 100% kasus, 355 atau lebih perangkat berfungsi. Tujuannya adalah untuk menemukan N sehingga dalam 95% kasus, N atau lebih banyak perangkat berfungsi. Jawabannya akan di atas 356, bukan di bawah. Kita membutuhkan persentil ke-5 dari distribusi yang diperkirakan, bukan minimum.
Nuclear Wang
@ Mat sudah benar. Memang, kasus terburuk adalahk=0. Jika Anda mengabaikan penyisihan hanya 95% dari kotak untuk menjadi baik, seperti yang telah Anda lakukan dalam posting ini, maka Anda tidak memiliki dasar untuk mengusulkan nilai positif dariksama sekali, karena ada kemungkinan (walaupun secara astronomi tidak mungkin) bahwa beberapa kotak dapat berisi semua perangkat yang tidak bekerja.
Whuber
@whuber - diperbarui.
EngrStudent