Asumsikan semua variabel distandarisasi oleh transformasi korelasi, seperti yang Anda sebutkan, versi skala satuan panjang dari . Model terstandarisasi tidak mengubah korelasi antara variabel dapat dihitung ketika transformasi standar dari model linier asli dibuat. Mari kita menunjukkan matriks desain setelah transformasi standar sebagai
Lalu
XXXVIFX∗=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢11⋮1X11X21⋮Xn1……⋮…X1,p−1X2,p−1⋮Xn,p−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥.
X∗′X∗=[n00′rXX],
mana adalah matriks korelasi variabelKita juga tahu bahwa
untuk adalah istilah diagonal ke- dari .rXXXσ2{β^}=σ2(X∗′X∗)−1=σ2[1n00′r−1XX.]
VIFkk=1,2,…,p−1kr−1XXk=1rXXk . Mari kita definisikan:
Perhatikan bahwa kedua matriks berbeda dari matriks desain. Karena kami hanya peduli dengan koefisien variabel , vektor -desain dapat diabaikan dalam perhitungan kami. Oleh karena itu, dengan menggunakan komplemen Schur ,
X(−1)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢X12X22⋮Xn2……⋮…X1,p−1X2,p−1⋮Xn,p−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥,X1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢X11X21⋮Xn1⎤⎦⎥⎥⎥⎥.
X1r−1XX(1,1)=(r11−r1X(−1)r−1X(−1)X(−1)rX(−1)1)−1=(r11−[r1X(−1)r−1X(−1)X(−1)]rX(−1)X(−1)[r−1X(−1)X(−1)rX(−1)1])−1=(1−β′1X(−1)X′(−1)X(−1)β1X(−1))−1,
mana adalah koefisien regresi pada kecuali intersep. Faktanya, intersep harus menjadi asal, karena semuaβ1X(−1)X1X2,…,Xp−1Xvariabel standar dengan rata-rata nol. Di sisi lain, (akan lebih mudah jika kita dapat menulis semuanya dalam bentuk matriks eksplisit)
Oleh karena itu
R21=SSRSSTO=β′1X(−1)X′(−1)X(−1)β1X(−1)1=β′1X(−1)X′(−1)X(−1)β1X(−1).
VIF1=r−1XX(1,1)=11−R21.