Buktikan bahwa tidak menurun untuk variabel acak yang tidak negatif

Jawaban:

6

Tulis di tempat untuk menekankannya bisa berupa bilangan real positif, bukan hanya bilangan bulat seperti yang disarankan oleh " ".pnn

Mari kita pergi melalui beberapa transformasi pendahuluan standar untuk menyederhanakan perhitungan selanjutnya. Tidak ada bedanya dengan hasil untuk rescale . Hasilnya sepele jika hampir di mana-mana nol, jadi anggap adalah nol, di mana juga bukan nol untuk semua . Sekarang perbaiki dan bagi dengan sehingga tanpa kehilangan sifat umum.XXE(X)E(Xp)ppXE(Xp)1/p

(1)E(Xp)=1,

Begini caranya penalaran dapat dilanjutkan saat Anda mencoba mengetahuinya pertama kali dan Anda berusaha untuk tidak bekerja terlalu keras. Saya akan menyerahkan pembenaran terperinci dari setiap langkah kepada Anda.

Ekspresi tidak menurun jika dan hanya jika logaritma tidak menurun. Log itu dapat dibedakan dan karenanya tidak menurun jika dan hanya jika turunannya non-negatif. Mengeksploitasi kita dapat menghitung (dengan membedakan dalam harapan) turunan ini sebagaiE(Xp)1/p(1)

ddplog(E(Xp)1/p)=1p2logE(Xp)+E(XplogX)E(Xp)=1pE(Xplog(Xp)).

Menulis , sisi kanan adalah non-negatif jika dan hanya jika Tapi ini adalah konsekuensi langsung dari Ketimpangan Jensen yang diterapkan pada fungsi (kontinu pada real nonnegatif dan dapat dibedakan pada real positif), karena membedakan dua kali menunjukkan for , di mana adalah fungsi cembung pada real non-negatif, menghasilkanY=Xp

E(Ylog(Y))0.
f(y)=ylog(y)
f(y)=1y>0
y>0f

E(YlogY)=E(f(Y))f(E(Y))=f(1)=0,

QED .


Edit

Edward Nelson memberikan demonstrasi yang sangat singkat. Sebagai soal notasi (standar), tentukan untuk (dan ). Setelah mengamati bahwa fungsi adalah cembung, ia menerapkan Ketimpangan Jensen untuk menyimpulkan||x||p=E(|x|p)1/p1<p<||x||=sup|x|f(x)=|x|p

|E(x)|pE(|x|p).

Berikut adalah sisa demonstrasi dengan kata-katanya sendiri:

Diterapkan keini memberi dan diterapkan ke , di mana , ini memberi sehingga adalah peningkatan fungsi untuk .|x|

||x||1||x||p,
|x|r1r<
||x||r||x||rp,
||x||pp1p

Referensi

Edward Nelson, Teori Probabilitas Dasar Radikal. Princeton University Press (1987): hlm. 5.

whuber
sumber
Bisakah Anda menjelaskan kepada saya bagaimana Anda menghitung turunan darilog(E(Xp)1p)
Dhamnekar Winod
Saya menggunakan aturan produk, karenaSaya membedakan faktor kedua dalam produk dengan membedakan di bawah tanda integral.
log(E(Xp)1/p)=1p logE(Xp).
whuber
Bagaimana Anda sampai di Anda menulis Anda membagi X denganE(Xp)=1E(Xp)1p
Dhamnekar Winod
Mengapa Anda tidak mengalikan istilah kedua dalam turunan dari olehlog(E(Xp)(1p)1p
Dhamnekar Winod
Saya lakukan: itu membatalkan faktor . Tetapi apakah itu penting untuk hasilnya? Lagi pula, kita hanya perlu tahu tanda turunannya. p
whuber