Central Limit Theorem (CLT) menyatakan bahwa untuk independen dan didistribusikan secara identik (iid) dengan dan , jumlah menyatu dengan distribusi normal sebagai :
Asumsikan sebagai gantinya membentuk rantai Markov keadaan terbatas dengan distribusi stasioner dengan ekspektasi 0 dan varians terikat. Apakah ada perpanjangan sederhana CLT untuk kasus ini?
Makalah yang saya temukan di CLT untuk Markov Chains umumnya menangani kasus yang jauh lebih umum. Saya akan sangat berterima kasih atas petunjuk untuk hasil umum yang relevan dan penjelasan bagaimana penerapannya.
markov-process
central-limit-theorem
tom4everitt
sumber
sumber
Jawaban:
Jawaban Alex R. hampir mencukupi, tetapi saya menambahkan beberapa detail lagi. Dalam On the Markov Chain Central Limit Theorem - Galin L. Jones , jika Anda melihat teorema 9, katanya,
Untuk ruang keadaan terbatas, semua rantai Markov yang tidak dapat direduksi dan aperiodik seragam ergodik. Bukti untuk ini melibatkan beberapa latar belakang yang cukup besar dalam teori rantai Markov. Referensi yang baik adalah halaman 32, di bagian bawah Teorema 18 di sini .
Oleh karena itu, rantai Markov CLT akan berlaku untuk setiap fungsi yang memiliki momen kedua terbatas. Bentuk yang diambil CLT dijelaskan sebagai berikut.f
Biarkan menjadi penaksir rata-rata waktu , lalu seperti yang ditunjukkan oleh Alex R., seperti ,f¯n Eπ[ f] n → ∞ f¯n= 1n∑i = 1nf( Xsaya) →sebagaiEπ[ f] .
CLT rantai Markov adalahn--√( f¯n- Eπ[ f] ) →dN( 0 , σ2) ,
di manaσ2= Varπ( f( X1) )Istilah yang diharapkan+ 2 ∑k = 1∞Covπ( f( X1) , f( X1 + k) )Jangka waktu karena rantai Markov.
Derivasi untuk term dapat ditemukan pada Halaman 8 dan Halaman 9 dari catatan MCMC Charles Geyer di siniσ2
sumber
Hasil "biasa" untuk Rantai Markov adalah Teorema Birkhoff Ergodic, yang mengatakan itu
di mana adalah distribusi stasioner, dan memuaskan , dan konvergensi hampir pasti.f E | f ( X 1 ) | < ∞π f E|f(X1)|<∞
Sayangnya fluktuasi konvergensi ini umumnya cukup sulit. Ini terutama disebabkan oleh kesulitan ekstrim untuk menentukan batas variasi total pada seberapa cepat konvergen ke distribusi stasioner . Ada kasus-kasus yang diketahui di mana fluktuasi analog dengan CLT, dan Anda dapat menemukan beberapa kondisi pada drift yang membuat analogi bertahan: Pada Teorema Limit Pusat Rantai Markov - Galin L. Jones (Lihat Teorema 1). πXi π
Ada juga situasi bodoh, misalnya rantai dengan dua keadaan, di mana seseorang menyerap (yaitu dan Dalam hal ini tidak ada fluktuasi, dan Anda dapatkan konvergensi ke distribusi normal yang merosot (konstanta).P ( 2 → 1 ) = 0P(1→2)=1 P(2→1)=0
sumber