Apa perbedaan antara distribusi "pembatas" dan "stasioner"?

21

Saya melakukan pertanyaan pada rantai Markov dan dua bagian terakhir mengatakan ini:

  • Apakah rantai Markov ini memiliki distribusi terbatas. Jika jawaban Anda adalah "ya", cari distribusi terbatas. Jika jawaban Anda "tidak", jelaskan alasannya.
  • Apakah rantai Markov ini memiliki distribusi stasioner. Jika jawaban Anda adalah "ya", cari distribusi stasioner. Jika jawaban Anda "tidak", jelaskan alasannya.

Apa bedanya? Sebelumnya, saya pikir distribusi pembatas adalah ketika Anda mengerjakannya menggunakan tapi ini adalah matriks transisi langkah ke - n . Mereka menghitung distribusi pembatas menggunakan \ Pi = \ Pi P , yang saya pikir adalah distribusi stasioner. n Π = Π PP=CAnC1nΠ=ΠP

Yang mana yang kemudian?

Kaish
sumber
4
Buku teks Anda mungkin membuat perbedaan yang tidak universal: misalnya, catatan Karl Sigman tentang membatasi distribusi mendefinisikan distribusi "membatasi" dan "stasioner" menjadi sama (definisi 2.3 di bagian bawah hal. 5). Karena itu, Anda harus berkonsultasi dengan definisi dalam buku teks Anda untuk menentukan perbedaannya.
Whuber
@whuber Ini mengatakan sesuatu seperti berolahraga dan ini tidak ada. Kemudian melanjutkan dengan mengatakan "meskipun distribusi pembatas tidak ada, alat tulis itu tidak ada. Biarkan \ Pi = (\ pi_0, \ pi_1, ..., \ pi_n) menjadi distribusi stasioner ...." Tapi saya menjamin Anda untuk menghitung distribusi terbatas dalam pertanyaan sebelumnya, mereka menyelesaikannya seperti ini. Apakah itu masuk akal bagi Anda? limnPii(n)Π=(π0,π1,...,πn)
Kaish
@whuber Sebenarnya, saya cukup bingung sekarang karena dalam pertanyaan distribusi sebelumnya yang membatasi, mereka tidak π0+π1+π2=1 persamaan, jadi mungkin itu berbeda?
Kaish
2
Distribusi stasioner adalah distribusi yang stabil dari waktu ke waktu. Sejauh yang saya ketahui, distribusi terbatas rantai Markov adalah diam dan jika rantai Markov memiliki distribusi diam, itu juga distribusi terbatas.
shadowtalker
Jawab di sini oleh Andreas mungkin membantu quora.com/...
Siddharth Shakya

Jawaban:

18

Dari An Introduction to Stochastic Modelling oleh Pinsky dan Karlin (2011):

Distribusi terbatas, ketika ada, selalu merupakan distribusi stasioner, tetapi sebaliknya tidak benar. Mungkin ada distribusi stasioner tetapi tidak ada distribusi terbatas. Misalnya, tidak ada distribusi terbatas untuk rantai Markov berkala yang matriks probabilitas transisinya adalah tetapi adalah distribusi stasioner, karena (hlm. 205).

P=0110
π=(12,12)
(12,12)0110=(12,12)

Di bagian sebelumnya, mereka telah mendefinisikan " distribusi probabilitas membatasi " olehπ

limnPij(n)=πj for j=0,1,,N

dan setara

limnPr{Xn=j|X0=i}=πj>0 for j=0,1,,N
(hal. 165).

Contoh di atas berosilasi secara deterministik, sehingga gagal memiliki batas dengan cara yang sama dengan urutan gagal memiliki batas.{1,0,1,0,1,}


Mereka menyatakan bahwa rantai Markov reguler (di mana semua probabilitas transisi n-langkah positif) selalu memiliki distribusi terbatas, dan membuktikan bahwa itu harus menjadi solusi non-negatif yang unik untuk

πj=k=0NπkPkj,  j=0,1,,N,k=0Nπk=1
(hal. 168 )

Kemudian pada halaman yang sama dengan contoh, mereka menulis

Setiap set memuaskan (4,27) disebut distribusi probabilitas stasioner dari rantai Markov. Istilah "stasioner" berasal dari properti yang rantai Markov mulai menurut distribusi stasioner akan mengikuti distribusi ini di semua titik waktu. Secara formal, jika , maka untuk semua .(πi)i=0Pr{X0=i}=πiPr{Xn=i}=πin=1,2,

di mana (4,27) adalah himpunan persamaan

πi0,i=0πi=1, and πj=i=0πiPij.

yang persis kondisi stasioneritas yang sama seperti di atas, kecuali sekarang dengan jumlah negara tak terbatas.

Dengan definisi stasioneritas ini, pernyataan di halaman 168 dapat dinyatakan kembali secara retroaktif sebagai:

  1. Distribusi terbatas rantai Markov reguler adalah distribusi stasioner.
  2. Jika distribusi pembatas rantai Markov adalah distribusi stasioner, maka distribusi stasioner itu unik.
shadowtalker
sumber
Bisakah Anda mengklarifikasi apa yang Anda maksud dengan 'probabilitas transisi tidak berubah dari waktu ke waktu' untuk stasioneritas? Pembatasan dan distribusi stasioner adalah tentang probabilitas atas negara.
Juho Kokkala
1
Yup, saya melihat Anda menulis jawaban Anda sendiri tetapi saya mengatur ulang jawaban saya menjadi lebih benar.
shadowtalker
Saya masih belum mengerti. Maksud saya apa yang Anda maksud ketika Anda mengatakan "kecuali sekarang dengan jumlah negara tak terbatas ...."? Bisakah Anda menjelaskannya lebih jelas.
roni
@roni kedua ekspresi itu identik jika Anda membiarkanN=
shadowtalker
Pada blok pertama yang disorot, adalah distribusi stasioner untuk contoh, bagaimanapun, ia tidak memiliki distribusi terbatas karena akan berosilasi, dan oleh karena itu ia tidak memiliki kondisi mapan. Apakah ini berarti bahwa itu tidak akan menjamin keberadaan kondisi mapan jika hanya distribusi stasioner yang dihitung? π=(1/2,1/2)Pn
Guoyang Qin
12

Distribusi stasioner adalah distribusi sehingga jika distribusi atas status pada langkah adalah , maka juga distribusi atas status pada langkah adalah . Yaitu, Distribusi pembatas adalah distribusi sehingga tidak peduli apa distribusi awalnya, distribusi atas negara konvergen ke sebagai jumlah langkah-langkah menuju infinity: independen dariπkπk+1π

π=πP.
ππ
limkπ(0)Pk=π,
π(0). Sebagai contoh, mari kita pertimbangkan rantai Markov yang dua negara bagiannya adalah sisi koin, . Setiap langkah terdiri dari membalikkan koin (dengan probabilitas 1). Perhatikan bahwa ketika kami menghitung distribusi keadaan, mereka tidak tergantung pada langkah sebelumnya, yaitu, orang yang menghitung probabilitas tidak melihat koin. Jadi, matriks transisi adalah Jika kita pertama kali menginisialisasi koin dengan membalik koin secara acak ( ), maka semua langkah waktu berikutnya juga mengikuti distribusi ini. (Jika Anda membalik koin yang adil, dan kemudian membalikkannya, kemungkinan kepala masih ). Jadi,{heads,tails}
P=(0110).
π(0)=(0.50.5)0.5(0.50.5) adalah distribusi stasioner untuk rantai Markov ini.

Namun, rantai ini tidak memiliki distribusi terbatas: misalkan kita menginisialisasi koin sehingga memiliki kepala . Kemudian, karena semua keadaan selanjutnya ditentukan oleh keadaan awal, setelah jumlah langkah genap, keadaan adalah kepala dengan probabilitas dan setelah jumlah langkah ganjil negara adalah kepala dengan probabilitas . Ini berlaku tidak peduli berapa banyak langkah yang diambil, sehingga distribusi atas negara tidak memiliki batas.2/32/31/3

Sekarang, mari kita modifikasi prosesnya sehingga pada setiap langkah, seseorang tidak perlu memutar koin. Sebagai gantinya, seseorang melempar dadu, dan jika hasilnya , koin dibiarkan apa adanya. Rantai Markov ini memiliki matriks transisi Tanpa membahas matematika, saya akan menunjukkan bahwa proses ini akan 'melupakan' keadaan awal karena secara acak menghilangkan belokan. Setelah sejumlah besar langkah, probabilitas kepala akan mendekati , bahkan jika kita tahu bagaimana koin diinisialisasi. Dengan demikian, rantai ini memiliki distribusi terbatas .6

P=(1/65/65/61/6).
0.5(0.50.5)
Juho Kokkala
sumber
Poin bagus tentang melupakan keadaan awal, saya benar-benar mengacaukan ini dalam jawaban saya.
shadowtalker
Penjelasan ini membantu saya memahami banyak hal. Dapatkah saya mengatakan bahwa keberadaan kondisi mapan setara dengan keberadaan distribusi terbatas? Karena tidak mudah untuk menghitung distribusi pembatas, kami sering menghitung distribusi stasioner dengan menyelesaikan persamaan keseimbangan sebagai gantinya. Namun, saya pikir metode alternatif ini tidak menjamin bahwa distribusi stasioner independen dari keadaan awal, oleh karena itu, ini menjelaskan mengapa untuk , ia memiliki distribusi stasioner tetapi tidak ada kondisi mapan yang independen dari kondisi awal. P=(0110)
Guoyang Qin
@GuoyangQin Jika Anda memiliki pertanyaan baru, Anda mungkin ingin mempostingnya sebagai pertanyaan (menghubungkan ke pertanyaan ini jika itu membantu memberikan pertanyaan). Meskipun saya akan berpikir "kondisi mapan" dalam konteks ini akan berarti "distribusi stasioner" sehingga akan lebih baik untuk mendefinisikan istilah dalam pertanyaan
Juho Kokkala
10

Mengesampingkan notasi, kata "stasioner" berarti "begitu Anda sampai di sana, Anda akan tinggal di sana"; sementara kata "membatasi" menyiratkan "Anda pada akhirnya akan sampai di sana jika Anda pergi cukup jauh". Hanya berpikir ini mungkin bisa membantu.

Langit biru
sumber
Tidak jelas bagaimana ini berlaku untuk pertanyaan. Bisakah Anda jelaskan?
whuber
2
Hai @whuber, maksud saya mengatakan bahwa distribusi pembatas adalah distribusi stasioner sedangkan distribusi stasioner tidak harus merupakan distribusi pembatas. Karena itu ada perbedaan. Ini pada dasarnya sama dengan jawaban lain tetapi saya pikir ini lebih mudah diingat.
BlueSky
Terima kasih atas klarifikasi: itu menunjukkan kepada kami apa yang ingin Anda capai. Namun, saya tidak dapat menemukan cara yang masuk akal untuk menafsirkan deskripsi Anda tentang "stasioner" dengan cara yang konsisten dengan definisi matematika.
whuber
@whuber Frasa BlueSky nampak seperti gagasan bahasa Inggris polos yang sangat langsung tentang "titik tetap" bagi saya - Saya tidak yakin apa maksud objek Anda.
Richard Rast