Apakah ada bukti untuk CLT yang tidak menggunakan fungsi karakteristik, metode yang lebih sederhana?
Mungkin metode Tikhomirov atau Stein?
Sesuatu yang mandiri dapat Anda jelaskan kepada seorang mahasiswa (tahun pertama matematika atau fisika) dan membutuhkan waktu kurang dari satu halaman?
Jawaban:
Anda dapat membuktikannya dengan metode Stein, namun itu masih bisa diperdebatkan jika buktinya dasar. Sisi positif dari metode Stein adalah Anda mendapatkan bentuk Berry Esseen yang sedikit lebih lemah secara gratis. Juga, metode Stein tidak kekurangan ilmu hitam! Anda dapat menemukan eksposisi bukti di bagian 6 tautan ini . Anda juga akan menemukan bukti CLT lainnya di tautan.
Berikut ini gambaran singkatnya:
1) Buktikan, menggunakan integrasi sederhana dengan bagian-bagian dan kepadatan distribusi normal, bahwa untuk semua terdiferensiasi secara terus-menerus jika adalah didistribusikan. Lebih mudah untuk ditunjukkan Normal menunjukkan hasil dan sedikit lebih sulit untuk menunjukkan yang sebaliknya, tetapi mungkin itu bisa diambil dengan keyakinan.A N ( 0 , 1 ) AEf′( A ) - Xf( A ) = 0 SEBUAH N( 0 , 1 ) SEBUAH
2) Lebih umum, jika untuk setiap terdiferensiasi secara terus menerus dengan dibatasi, maka konvergen ke dalam distribusi. Buktinya di sini adalah lagi dengan integrasi oleh bagian-bagian, dengan beberapa trik. Secara khusus, kita perlu tahu bahwa konvergensi dalam distribusi setara dengan untuk semua fungsi kontinu yang dibatasi . Memperbaiki , ini digunakan untuk merumuskan kembali:f f , f ′ X nEf(Xn)−Xnf(Xn)→0 f f,f′ Xn E gN(0,1) g gEg(Xn)→Eg(A) g g
di mana seseorang memecahkan untuk menggunakan teori ODE dasar, dan kemudian menunjukkan bagus. Jadi jika kita dapat menemukan bagus , dengan asumsi rhs pergi ke 0, dan juga sisi kiri.f ff f f
3) Akhirnya, buktikan teorema limit pusat untuk mana iid dengan rata-rata 0 dan varian 1. Ini lagi mengeksploitasi trik di langkah 2, di mana untuk setiap kita menemukan sedemikian rupa sehingga:Yn:=X1+⋯+Xnn√ g fXi g f
sumber
Inilah cara saya akan melakukannya jika saya masih di sekolah menengah.
Ambil distribusi probabilitas apa pun dengan kepadatan , dapatkan mean dan varians . Selanjutnya, perkiraan dengan variabel acak yang memiliki bentuk berikut: mana adalah variabel acak Bernoulli dengan parameter . Anda dapat melihat bahwa dan .μ x , σ 2 x z z = μ x - σ x + 2 σ x ξ , ξ p = 1 / 2 μ z = μ xf(x) μx,σ2x z
Sekarang kita dapat melihat jumlah
Anda dapat mengenali distribusi Binomial di sini: , di mana . Anda tidak perlu fungsi karakteristik untuk melihat bahwa itu menyatu dengan bentuk distribusi normal .η=∑ni=1ξi η∼B(n,1/2)
Jadi, dalam beberapa hal Anda bisa mengatakan bahwa Bernoulli adalah perkiraan paling tepat untuk distribusi apa pun, dan bahkan konvergen ke normal.
Misalnya, Anda dapat menunjukkan bahwa saat-saat itu cocok dengan normal. Mari kita mendefinisikan lihat variabel:y=(Sn/n−μx)n−−√
Mari kita lihat apa arti dan varians: Vsebuahr[y]=σ 2 x Vsebuahr[2η/n]n=4σ 2 x /nn(1/4)=σ 2 x
Kemiringan dan kelebihan kurtosis menyatu ke nol dengan , mudah untuk ditunjukkan dengan memasukkan formula yang dikenal untuk Binomial.n→∞
sumber