Tunjukkan bahwa memiliki distribusi miring normal

8

Biarkan dan independen. Tunjukkan bahwa memiliki distribusi condong-normal dan temukan parameter distribusi ini.Y1SN(μ1,σ12,λ)Y2N(μ2,σ22)Y1+Y2

Karena variabel acak independen saya mencoba menggunakan konvolusi. BiarkanZ=Y1+Y2

fZ(z)=-2ϕ(y1|μ1,σ1)Φ(λ(y1-μ1σ1))ϕ(z-y1|μ2,σ22)dy1

Di sini dan masing-masing adalah pdf dan cdf normal standar.ϕ()Φ()

fZ(z)=-212πσ112πσ2exhal(-12σ12(y1-μ)2-12σ22((z-y1)2-μ)2)Φ(λ(y1-μ1σ1))dy1

Untuk notasi yang disederhanakan, misalkank=212πσ112πσ2

fZ(z)=k-exp(-12σ12σ22(σ12(y1-μ1)2+σ22((z-y1)-μ2)2))Φ(λ(y1-μ1σ1))dy1=k-exp(-12σ12σ22(σ22(y12-2y1μ1+μ1)+σ12((z-y1)2-2(z-y1)μ2+μ22)))×Φ(λ(y1-μ1σ1))dy1=k-exp(-12σ12σ22(σ22(y12-2y1μ1+μ1)+σ12(z2-2zy1+y12-2zμ2+2y1μ2+μ22)))×Φ(λ(y1-μ1σ1))dy1

Tapi saya terjebak pada titik ini.

EDIT: Mengikuti saran dalam komentar, mengambil danμ1=μ2=0σ12=σ22=1

-212π12πexp(-12[y12+z2-2zy1+y12])Φ(λy1)dy1-212π12πexp(-12y12)Φ(λy1)exp(-12(z-y1)2)dy1

condong-normal.

kjetil b halvorsen
sumber
2
Mencoba kasus yang lebih sederhana dari , akan mengurangi sedikit kekacauan dan membuat Anda melihat hutan alih-alih pohon? μ1=μ2=0σ1=σ2=1
Dilip Sarwate
1
Saya pikir saran Dilip adalah saran yang bagus, tetapi Anda mungkin ingin memeriksa ekspansi Anda dari istilah kuadratik dengan hati-hati. (Ini tidak akan memperbaiki masalah langsung Anda tetapi pada akhirnya akan menjadi masalah)
Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

8

Ulangi kemiringan dalam hal dan gunakan mgf dari condong normal (lihat di bawah), karena dan independen, memiliki mgf yaitu , mgf dari condong normal dengan parameter , dan manaδ=λ/1+λ2Y1Y2Z=Y1+Y2

MZ(t)=MY1(t)MY2(t)=2eμ1t+σ12t2/2Φ(σ1δt)eμ2t+σ22t2/2=2e(μ1+μ2)t+(σ12+σ22)t2/2Φ(σ1δt)=2eμt+σ2t2/2Φ(σδt),
μ=μ1+μ2σ2=σ12+σ22σδ=σ1δδadalah parameter kemiringan baru. Karenanya, Dalam parameterisasi lain, parameter miring baru dapat ditulis, setelah beberapa aljabar, misalnya sebagai
δ=δσ1σ=δσ1σ12+σ22.
λ
λ=δ1δ2=λ1+σ22σ12(1+λ2).

Mgf dari standar kemiringan normal dapat diturunkan sebagai berikut: \ end {align} mgf dari condong normal dengan parameter lokasi dan skala

MX(t)=EetX=ext212πex2/2Φ(λx)dx=212πe12(x22tx)Φ(λx)dx=212πe12((xt)2t2)Φ(λx)dx=2et2/212πe12(xt)2P(Zλx)dx,where ZN(0,1)=2et2/2P(ZλU),where UN(t,1)=2et2/2P(ZλU0)=2et2/2P(ZλU+λt1+λ2λt1+λ2)=2et2/2Φ(λ1+λ2t).
μ dan adalah σ
Mμ+σX(t)=Ee(μ+σX)t=eμtMX(σt)=2eμt+σ2t2/2Φ(λ1+λ2σt).
Jarle Tufto
sumber
Saya tidak mengerti bagaimana Anda mendapatkan ini dapatkah Anda memberi saya detail lebih lanjut? δ=δσ1σ
Anda hanya menyamakan jumlah yang muncul sebelum dan dalam eksponensial dan dalam argumen fungsi untuk menemukan parameter baru. tt2Φ
Jarle Tufto