Apakah dua kuantil dari distribusi beta menentukan parameternya?

9

Jika saya memberikan dua kuantil (q1,q2) dan lokasi yang sesuai (masing-masing) dalam interval terbuka , bisakah saya selalu menemukan parameter distribusi beta yang memiliki kuantil tersebut pada yang ditentukan lokasi?(l1,l2)(0,1)

Bota
sumber
1
Tidak, contoh tandingan dasar (q1, q2) = (0,1) dan (l1, l2) = (0,1) tidak peduli parameter apa pun.
Tim
1
@Tim Saya pikir saya mengerti maksud Anda, tetapi counterexample Anda tidak memenuhi ketentuan yang saya tentukan (misalnya lokasi berada dalam interval terbuka ). (0,1)
Bota
1
Saya pikir Anda dapat melakukannya secara numerik (dan akan ada solusi unik), tetapi itu akan memerlukan sedikit usaha.
Glen_b -Reinstate Monica
1
Saya pikir juga - pemecahan numerik tidak sulit, tetapi tidak mudah untuk menemukan argumen untuk keunikannya.
Elvis
1
@ Elvis sebenarnya, saya menduga bahwa mungkin ada cara untuk melakukannya dengan melihat logit dari kedua variabel (OP's l dan q ).
Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

9

Jawabannya adalah ya, asalkan data memenuhi persyaratan konsistensi yang jelas. Argumennya langsung, berdasarkan konstruksi sederhana, tetapi memerlukan beberapa pengaturan. Ia datang ke sebuah fakta intuitif menarik: meningkatkan parameter a di Beta (a,b) distribusi meningkatkan nilai densitas (PDF) lebih untuk yang lebih besar x dari kecil x ; dan meningkatkan b melakukan kebalikannya: semakin kecil x , semakin banyak nilai PDF meningkat.

Detailnya mengikuti.


Biarkan kuantil q1 diinginkan menjadi x1 dan kuantil q2 diinginkan menjadi x2 dengan 1>q2>q1>0 dan (karenanya) 1>x2>x1>0 . Lalu ada a dan b unik dimana distribusi Beta (a,b) memiliki kuantil ini.

Kesulitan dengan menunjukkan ini adalah bahwa distribusi Beta melibatkan konstanta normal yang bandel. Ingat definisi: untuk a>0 dan b>0 , distribusi Beta (a,b) memiliki fungsi kerapatan (PDF)

f(x;a,b)=1B(a,b)xa1(1x)b1.

Konstanta normalisasi adalah fungsi Beta

B(a,b)=01xa1(1x)b1dx=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b).

Semuanya menjadi berantakan jika kita mencoba untuk membedakan f(x;a,b) secara langsung sehubungan dengan a dan b , yang akan menjadi cara kasar untuk mencoba demonstrasi.

Salah satu cara untuk menghindari keharusan menganalisis fungsi Beta adalah dengan mencatat bahwa kuantil adalah area relatif . Itu adalah,

qi=F(xi;a,b)=0xif(x;a,b)dx01f(x;a,b)dx

untuk i=1,2 . Di sini, misalnya, adalah PDF dan fungsi distribusi kumulatif (CDF) F dari Beta (1.15,0.57) distribusi untuk yang x1=1/3 dan q1=1/6 .

Gambar 1

Fungsi kerapatan xf(x;a,b) diplot di sebelah kiri. q1 adalah area di bawah kurva di sebelah kiri x1 , ditunjukkan dengan warna merah, relatif terhadap total area di bawah kurva. q2 adalah area di sebelah kiri x2 , sama dengan jumlah dari daerah merah dan biru, sekali lagi relatif terhadap total area . CDF di sebelah kanan menunjukkan bagaimana (x1,q1) dan (x2,q2) tandai dua titik berbeda di atasnya.

Dalam gambar ini, (x1,q1) tetap pada (1/3,1/6) , a terpilih menjadi 1.15 , dan kemudian nilai b ditemukan yang (x1,q1) kebohongan di Beta (a,b) CDF.

Lemma : huruf b selalu dapat ditemukan.

Untuk lebih spesifik, biarkan (x1,q1) diperbaiki sekali dan untuk semua. (Mereka tetap sama dalam ilustrasi yang mengikuti: dalam ketiga kasus, area relatif ke kiri x1 sama dengan q1 ) Untuk setiap a>0 , Lemma mengklaim ada nilai unik dari b , ditulis b(a), yang x1 adalah q1 kuantil dari Beta (a,b(a)) distribusi.

Untuk melihat alasannya, catat dulu bahwa ketika b mendekati nol, semua probabilitas menumpuk mendekati nilai 0 , di mana F(x1;a,b) mendekati 1 . Ketika b mendekati tak terhingga, semua probabilitas menumpuk mendekati nilai 1 , di mana F(x1;a,b) mendekati 0 . Di antaranya, fungsi bF(x1;a,b)benar-benar meningkat dalam b .

Klaim ini jelas secara geometris: sama dengan mengatakan bahwa jika kita melihat area di sebelah kiri di bawah kurva xxa1(1x)b1 relatif terhadap total area di bawah kurva dan membandingkannya dengan area relatif di bawah kurva xxa1(1x)b1 untuk b>b , maka area terakhir relatif lebih besar. Rasio kedua fungsi ini adalah(1x)bb . Ini adalah fungsi sama untuk1 saatx=0, menurun terus ke0 ketikax=1. Oleh karena itu ketinggian fungsixf(x;a,b) yangrelatif lebih besardibandingkan dengan ketinggianxf(x;a,b) untukx di sebelah kirix1 daripada untukx di sebelah kananx1. Akibatnya,areadi sebelah kirix1 di bekas harusrelatiflebih besar dari area di sebelah kananx1. (Ini mudah untuk diterjemahkan ke dalam argumen yang ketat menggunakan jumlah Riemann, misalnya.)

Kita telah melihat bahwa fungsi bf(x1;a,b) secara ketat meningkat secara monoton dengan nilai pembatas pada 0 dan 1 sebagai b0 dan b, masing-masing. Ini juga (jelas) berkelanjutan. Akibatnya ada angka b(a) mana f(x1;a,b(a))=q1 dan angka itu unik, membuktikan lemma.

Argumen yang sama menunjukkan bahwa ketika b bertambah, area di sebelah kiri x2 meningkat. Akibatnya nilai-nilai f(x2;a,b(a)) berbagai atas beberapa interval angka sebagai a kemajuan dari hampir 0 hampir . Batas f(x2;a,b(a)) sebagai a0 adalah q1.

Berikut adalah contoh di mana a mendekati 0 (sama dengan 0.1 ). Dengan x1=1/3 dan q1=1/6 (seperti pada gambar sebelumnya), b(a)0.02. Hampir tidak ada area antara x1 dan x2:

Gambar 2

CDF praktis datar antara x1 dan x2, mana q2 praktis di atas q1. Dalam batas sebagai Sebuah0 , q2q1.

Pada ekstrem yang lain, nilai-nilai yang cukup besar Sebuah menyebabkan F(x2;Sebuah,b(Sebuah)) sewenang-wenang dekat dengan 1. Berikut adalah contoh dengan (x1,q1) seperti sebelumnya.

Gambar 3

Di sini Sebuah=8 dan b(Sebuah) hampir 10. Sekarang F(x2;Sebuah,b(Sebuah)) pada dasarnya adalah 1: hampir tidak ada area di sebelah kanan x2.

Akibatnya, Anda dapat memilih salah q2 antara q1 dan 1 dan menyesuaikan Sebuah sampai F(x2;Sebuah,Sebuah(b))=q2. Sama seperti sebelumnya, ini Sebuah harus unik, QED .


RKode kerja untuk menemukan solusi diposting di Menentukan parameter distribusi beta dan β dari dua titik arbitrer (kuantil)αβ .

whuber
sumber
Jawaban menunjukkan bahwa jika kita memiliki memilih tetap atau b kita akan menemukan nilai yang sesuai unik. Mungkin saja untuk membangun fungsi yang memiliki area tetap dalam [ 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] dan [ x 2 , 1 ] . Saya tidak segera melihat mengapa ini akan menjamin bahwa himpunan α dan β adalah unik. Apakah Anda bersedia menguraikan dan mencerahkan saya? Sebuahb[0,x1][x1,x2][x2,1]αβ
Jan
@ Jan Bisakah menjelaskan apa yang Anda maksud dengan "set dan β "? Simbol-simbol itu tidak muncul di mana pun di utas ini. αβ
whuber