Jika saya memberikan dua kuantil dan lokasi yang sesuai (masing-masing) dalam interval terbuka , bisakah saya selalu menemukan parameter distribusi beta yang memiliki kuantil tersebut pada yang ditentukan lokasi?
9
Jika saya memberikan dua kuantil dan lokasi yang sesuai (masing-masing) dalam interval terbuka , bisakah saya selalu menemukan parameter distribusi beta yang memiliki kuantil tersebut pada yang ditentukan lokasi?
Jawaban:
Jawabannya adalah ya, asalkan data memenuhi persyaratan konsistensi yang jelas. Argumennya langsung, berdasarkan konstruksi sederhana, tetapi memerlukan beberapa pengaturan. Ia datang ke sebuah fakta intuitif menarik: meningkatkan parametera di Beta (a,b) distribusi meningkatkan nilai densitas (PDF) lebih untuk yang lebih besar x dari kecil x ; dan meningkatkan b melakukan kebalikannya: semakin kecil x , semakin banyak nilai PDF meningkat.
Detailnya mengikuti.
Kesulitan dengan menunjukkan ini adalah bahwa distribusi Beta melibatkan konstanta normal yang bandel. Ingat definisi: untuka > 0 dan b > 0 , distribusi Beta ( a , b ) memiliki fungsi kerapatan (PDF)
Konstanta normalisasi adalah fungsi Beta
Semuanya menjadi berantakan jika kita mencoba untuk membedakanf( x ; a , b ) secara langsung sehubungan dengan Sebuah dan b , yang akan menjadi cara kasar untuk mencoba demonstrasi.
Salah satu cara untuk menghindari keharusan menganalisis fungsi Beta adalah dengan mencatat bahwa kuantil adalah area relatif . Itu adalah,
untuki=1,2 . Di sini, misalnya, adalah PDF dan fungsi distribusi kumulatif (CDF) F dari Beta (1.15,0.57) distribusi untuk yang x1=1/3 dan q1=1/6 .
Fungsi kerapatanx→f(x;a,b) diplot di sebelah kiri. q1 adalah area di bawah kurva di sebelah kiri x1 , ditunjukkan dengan warna merah, relatif terhadap total area di bawah kurva. q2 adalah area di sebelah kiri x2 , sama dengan jumlah dari daerah merah dan biru, sekali lagi relatif terhadap total area . CDF di sebelah kanan menunjukkan bagaimana (x1,q1) dan (x2,q2) tandai dua titik berbeda di atasnya.
Dalam gambar ini,(x1,q1) tetap pada ( 1 / 3 , 1/6) , a terpilih menjadi 1.15 , dan kemudian nilai b ditemukan yang (x1,q1) kebohongan di Beta ( a , b ) CDF.
Lemma : hurufb selalu dapat ditemukan.
Untuk lebih spesifik, biarkan(x1,q1) diperbaiki sekali dan untuk semua. (Mereka tetap sama dalam ilustrasi yang mengikuti: dalam ketiga kasus, area relatif ke kiri x1 sama dengan q1 ) Untuk setiap a > 0 , Lemma mengklaim ada nilai unik dari b , ditulis b ( a ) , yang x1 adalah q1 kuantil dari Beta ( a , b ( a ) ) distribusi.
Untuk melihat alasannya, catat dulu bahwa ketikab mendekati nol, semua probabilitas menumpuk mendekati nilai 0 , di mana F( x1; a , b ) mendekati 1 . Ketika b mendekati tak terhingga, semua probabilitas menumpuk mendekati nilai 1 , di mana F( x1; a , b ) mendekati 0 . Di antaranya, fungsi b →F( x1; a , b ) benar-benar meningkat dalam b .
Klaim ini jelas secara geometris: sama dengan mengatakan bahwa jika kita melihat area di sebelah kiri di bawah kurvax → xa - 1( 1 - x )b - 1 relatif terhadap total area di bawah kurva dan membandingkannya dengan area relatif di bawah kurva x → xa - 1( 1 - x )b′−1 untuk b′>b , maka area terakhir relatif lebih besar. Rasio kedua fungsi ini adalah(1−x)b′−b . Ini adalah fungsi sama untuk1 saatx=0, menurun terus ke0 ketikax=1. Oleh karena itu ketinggian fungsix→f(x;a,b′) yangrelatif lebih besardibandingkan dengan ketinggianx→f(x;a,b) untukx di sebelah kirix1 daripada untukx di sebelah kananx1. Akibatnya,areadi sebelah kirix1 di bekas harusrelatiflebih besar dari area di sebelah kananx1. (Ini mudah untuk diterjemahkan ke dalam argumen yang ketat menggunakan jumlah Riemann, misalnya.)
Kita telah melihat bahwa fungsib→f(x1;a,b) secara ketat meningkat secara monoton dengan nilai pembatas pada 0 dan 1 sebagai b→0 dan b→∞, masing-masing. Ini juga (jelas) berkelanjutan. Akibatnya ada angka b(a) mana f(x1;a,b(a))=q1 dan angka itu unik, membuktikan lemma.
Argumen yang sama menunjukkan bahwa ketikab bertambah, area di sebelah kiri x2 meningkat. Akibatnya nilai-nilai f(x2;a,b(a)) berbagai atas beberapa interval angka sebagai a kemajuan dari hampir 0 hampir ∞. Batas f(x2;a,b(a)) sebagai a→0 adalah q1.
Berikut adalah contoh di manaa mendekati 0 (sama dengan 0.1 ). Dengan x1=1/3 dan q1=1/6 (seperti pada gambar sebelumnya), b(a)≈0.02. Hampir tidak ada area antara x1 dan x2:
CDF praktis datar antarax1 dan x2, mana q2 praktis di atas q1. Dalam batas sebagai a→0 , q2→q1.
Pada ekstrem yang lain, nilai-nilai yang cukup besara menyebabkan F(x2;a,b(a)) sewenang-wenang dekat dengan 1. Berikut adalah contoh dengan (x1,q1) seperti sebelumnya.
Di sinia=8 dan b(a) hampir 10. Sekarang F(x2;a,b(a)) pada dasarnya adalah 1: hampir tidak ada area di sebelah kanan x2.
Akibatnya, Anda dapat memilih salahq2 antara q1 dan 1 dan menyesuaikan a sampai F(x2;a,a(b))=q2. Sama seperti sebelumnya, ini a harus unik, QED .
R
Kode kerja untuk menemukan solusi diposting di Menentukan parameter distribusi beta dan β dari dua titik arbitrer (kuantil)sumber