Saya memahami pertanyaan ini sebagai meminta wawasan tentang bagaimana orang bisa datang dengan setiap fungsi kerugian yang menghasilkan kuantil diberikan sebagai minimizer kerugian tidak peduli apa distribusi yang mendasari mungkin. Maka, tidak memuaskan, hanya mengulang analisis di Wikipedia atau di tempat lain yang menunjukkan bahwa fungsi kerugian ini berfungsi.
Mari kita mulai dengan sesuatu yang akrab dan sederhana.
Apa yang Anda bicarakan adalah menemukan "lokasi" relatif terhadap distribusi atau sekumpulan data . Sudah diketahui, misalnya, bahwa mean meminimalkan sisa kuadrat yang diharapkan; itu adalah nilai untuk itu F ˉ xx∗Fx¯
LF(x¯)=∫R(x−x¯)2dF(x)
sekecil mungkin. Saya telah menggunakan notasi ini untuk mengingatkan kita bahwa diturunkan dari kerugian , yang ditentukan oleh , tetapi yang paling penting tergantung pada angka .Lˉ xFx¯
Cara standar untuk menunjukkan bahwa meminimalkan fungsi yang dimulai dengan menunjukkan nilai fungsi tidak berkurang ketika diubah sedikit. Nilai seperti itu disebut titik kritis fungsi. x ∗x∗x∗
Fungsi kerugian seperti apa apa akan menghasilkan persentil menjadi titik kritis? Kerugian untuk nilai itu adalahF - 1 ( α )ΛF- 1( α )
L.F( F- 1( α ) ) = ∫RΛ ( x - F- 1( α ) ) dF( x ) = ∫10Λ ( F- 1( u ) - F- 1( α ) ) du .
Agar ini menjadi titik kritis, turunannya harus nol. Karena kami hanya mencoba menemukan beberapa solusi, kami tidak akan berhenti sejenak untuk melihat apakah manipulasi itu sah: kami akan merencanakan untuk memeriksa detail teknis (seperti apakah kami benar-benar dapat membedakan , dll. ) Pada akhirnya. DemikianΛ
0=L′F(x∗)=L′F(F−1(α))=−∫10Λ′(F−1(u)−F−1(α))du=−∫α0Λ′(F−1(u)−F−1(α))du−∫1αΛ′(F−1(u)−F−1(α))du.(1)
Di sisi kiri, argumen negatif, sedangkan di sisi kanan positif. Selain itu, kami memiliki sedikit kendali atas nilai-nilai integral ini karena dapat berupa fungsi distribusi apa pun. Akibatnya, satu-satunya harapan kami adalah membuat hanya bergantung pada tanda argumennya, dan jika tidak maka itu harus konstan.F Λ ′ΛFΛ′
Ini menyiratkan akan linear linear, berpotensi dengan kemiringan berbeda di kiri dan kanan nol. Jelas itu harus berkurang ketika mendekati nol - itu, bagaimanapun, adalah kerugian dan bukan keuntungan . Selain itu, men-rescaling dengan konstanta tidak akan mengubah propertinya, jadi kita mungkin merasa bebas untuk mengatur kemiringan tangan kiri menjadi . Biarkan menjadi kemiringan kanan. Kemudian disederhanakan menjadiΛ - 1 τ > 0 ( 1 )ΛΛ−1τ>0(1)
0=α−τ(1−α),
di mana solusinya yang unik , hingga kelipatan positif,
Λ(x)={−x, x≤0α1−αx, x≥0.
Mengalikan solusi (alami) ini dengan , untuk menghapus penyebutnya, menghasilkan fungsi kerugian yang disajikan dalam pertanyaan.1−α
Jelas semua manipulasi kami sah secara matematis ketika memiliki formulir ini. Λ