Intuisi di balik tingkat bahaya

Saya bingung tentang persamaan yang berfungsi sebagai definisi tingkat bahaya. Saya mendapatkan ide tentang tingkat bahaya, tetapi saya tidak melihat bagaimana persamaan itu mengekspresikan intuisi itu.

Jika adalah variabel acak yang mewakili titik waktu kematian seseorang pada interval waktu$x$$[0,T]$ . Maka tingkat bahaya adalah:

$$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$

Di mana mewakili probabilitas kematian sampai titik waktu , mewakili probabilitas untuk bertahan hingga titik waktu , dan adalah probabilitas kematian pada titik .$F(x)$$x\in[0,T]$
$1-F(x)$$x\in[0,T]$
$f(x)$$x$

Bagaimana cara membagi$f(x)$ dengan tingkat kelangsungan hidup menjelaskan intuisi dari kemungkinan kematian seketika di depan$\Delta t$ ? Bukankah seharusnya hanya, membuat perhitungan tingkat bahaya sepele?$f(x)$

Biarkan menunjukkan waktu kematian (atau waktu kegagalan jika Anda lebih suka deskripsi yang kurang sehat). Misalkan X adalah variabel acak kontinu yang fungsi kerapatan f ( t ) bukan nol hanya pada ( 0 , ∞ ) . Sekarang, perhatikan bahwa itu harus menjadi kasus yang f ( t ) meluruh menjadi 0 sebagai t → ∞ karena jika f ( t ) tidak meluruh seperti yang dinyatakan, maka ∫ ∞ - ∞$X$$X$$f(t)$$(0,\infty)$$f(t)$$0$$t \to \infty$$f(t)$ tidak dapat menampung. Dengan demikian, gagasan Anda bahwaf(T)adalah probabilitas kematian pada waktuT (sebenarnya, itu adalahf(T)Δtyaitu (kurang-lebih) probabilitas kematian dalamintervalpendek(T,T+Δt) dari panjangΔt) mengarah pada kesimpulan yang tidak masuk akal dan sulit dipercaya seperti$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$$f(T)$$T$$f(T)\Delta t$$(T, T+\Delta t]$$\Delta t$

Anda lebih mungkin meninggal dalam bulan berikutnya ketika Anda berusia tiga puluh tahun daripada ketika Anda berusia sembilan puluh delapan tahun.

setiap kali sedemikian rupa sehingga f ( 30 ) > f ( 98 ) .$f(t)$$f(30) > f(98)$

Alasan mengapa (atau f ( T ) Δ t ) adalah probabilitas "salah" untuk dilihat adalah bahwa nilai f ( T ) hanya menarik bagi mereka yang hidup pada usia T (dan masih secara mental cukup waspada untuk membaca stats.SE secara teratur!) Apa yang harus dilihat adalah probabilitas seorang T- year old sekarat dalam bulan berikutnya, yaitu,$f(T)$$f(T)\Delta t$$f(T)$$T$$T$

$$\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$$

Memilih menjadi dua minggu, satu minggu, satu hari, satu jam, satu menit, dll. Kita sampai pada kesimpulan bahwa tingkat bahaya (sesaat) untuk usia T- tahun adalah$\Delta t$$T$

$$h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$$

dalam arti bahwa perkiraan probabilitas kematian dalam femtosecond berikutnya dari tahun- T adalah f ( T ) Δ $(\Delta t)$$T$$\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

Perhatikan bahwa berbeda dengan kerapatan berintegrasi dengan 1 , integral ∫ ∞ 0 h ( t $f(t)$$1$ harus menyimpang. Ini karena CDFF(t)terkait dengan tingkat bahaya yang dilaluinya$\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

dan karena lim t → ∞ F(t)=1, itu harus lim t → ∞ ∫ t 0 h(τ

$$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$$ $\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$ atau dinyatakan lebih formal, integral dari tingkat bahayaharusberbeda: tidak adapotensiperbedaan seperti yang diklaim oleh hasil edit sebelumnya. $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$$

Tingkat bahaya tipikal adalah peningkatan fungsi waktu, tetapi tingkat bahaya konstan (masa hidup eksponensial) dimungkinkan. Kedua jenis tingkat bahaya ini jelas memiliki integral yang berbeda. Skenario yang kurang umum (bagi mereka yang percaya bahwa hal-hal membaik dengan bertambahnya usia, seperti anggur yang baik) adalah tingkat bahaya yang berkurang seiring waktu tetapi cukup lambat sehingga integral terpisahkan.

Bayangkan Anda tertarik dengan insiden pernikahan pertama bagi pria. Untuk melihat kejadian pernikahan pada usia 20 tahun, katakanlah, Anda akan memilih sampel orang yang belum menikah pada usia itu dan melihat apakah mereka menikah pada tahun berikutnya (sebelum mereka berusia 21 tahun).

$$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$$ as the proportion of individuals who got married from your sample of single 20 year olds, i.e. $$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$$

So basically this is just using the definition of conditional probability,

$$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$$ Now imagine we make the age unit smaller and smaller, up to days for example. I.e. what is the incidence of marriage at age of 7300 days? Then you would do the same, but survey all individuals of 7300 days and look who gets married before the end of the day. If $T$ is a random variable age at marriage, then we could write $$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$$ by the same logic as before.

The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at age $t$, for a non-married individual. We can write this as

$$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$$

$f(x)$bukan probabilitas kematian, tetapi kepadatan probabilitas; perkiraan berapa kali Anda mati dalam satuan waktu berikutnya jika kepadatan probabilitas tetap konstan selama satuan waktu itu.

Perhatikan ada masalah: probabilitas Anda untuk mati ketika Anda sudah mati sebelumnya agak bermasalah. Jadi lebih masuk akal untuk menghitung kemungkinan kematian dengan syarat telah selamat sejauh ini.$1-F(t)$ kemungkinan bertahan sampai $t$, sehingga membagi kepadatan probabilitas dengan probabilitas itu, akan memberi kita perkiraan berapa kali kita akan mati dalam unit waktu berikutnya dengan syarat tidak mati sebelumnya. Itu adalah tingkat bahaya.