Nilai yang diharapkan dari rasio maksimum dan variabel normal

Misalkan yang IID dari dan membiarkan menyatakan 'th elemen terkecil dari . Bagaimana seseorang dapat mengikat maksimum yang diharapkan dari rasio antara dua elemen berturut-turut dalam ? Artinya, bagaimana Anda bisa menghitung upperbound pada: $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

Literatur yang telah saya dapat temukan sebagian besar difokuskan pada rasio antara dua variabel acak yang menghasilkan distribusi rasio yang pdf untuk dua distribusi normal tidak berkorelasi diberikan di sini: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Meskipun ini akan memungkinkan saya untuk mengungguli rasio rata-rata yang diharapkan dari $n$ variabel, saya tidak bisa melihat bagaimana menggeneralisasi konsep ini untuk menemukan rasio maksimum yang diharapkan dari $n$ variabel.

expected-value order-statistics ratio maximum Maks
sumber

Seperti yang dicatat oleh whuber di bawah ini, ekspektasi rasio dua statistik urutan berurutan tidak bertemu. Tetapi jika itu benar, atau jika Anda tertarik pada perbedaan mereka, katakanlah

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ... masalah sebenarnya harus disederhanakan untuk menemukan rasio (atau perbedaan, seperti kasusnya) dari dua statistik pesanan TERBESAR yaitu

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ... hanya dari bentuk ekor Normal.

serigala

Harapannya tidak ditentukan.

Biarkan menjadi iid menurut setiap distribusi dengan properti berikut: ada bilangan positif dan positif sedemikian rupa sehingga $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

untuk semua . Properti ini berlaku untuk setiap distribusi kontinu, seperti distribusi Normal, yang kepadatannya adalah kontinu dan bukan nol pada , untuk kemudian , memungkinkan kita untuk mengambil untuk nilai setiap tetap antara dan . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Untuk menyederhanakan analisis saya juga akan mengasumsikan dan , keduanya benar untuk semua distribusi Normal. (Yang terakhir dapat dijamin dengan menyelamatkan jika perlu. Yang pertama hanya digunakan untuk memungkinkan perkiraan sederhana dari probabilitas.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Biarkan dan mari kita melebih-lebihkan fungsi survival dari rasio sebagai $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Probabilitas terakhir tersebut adalah peluang bahwa persisnya dari melebihi , tepat satu terletak pada interval , dan sisanya (jika ada) adalah non-positif. Dalam hal , peluang diberikan oleh ekspresi multinomial $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Ketika , ketimpangan memberikan batas bawah untuk ini yang sebanding dengan , menunjukkan bahwa $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

Fungsi survival dari , memiliki ekor yang berperilaku asimtotik seperti : yaitu, untuk beberapa angka positif . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Menurut definisi, ekspektasi variabel acak adalah ekspektasi bagian positifnya ditambah ekspektasi dari bagian negatifnya . Karena bagian positif dari harapan - jika ada - adalah bagian integral dari fungsi bertahan hidup (dari hingga ) dan $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

bagian positif dari ekspektasi divergen. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

Argumen yang sama diterapkan pada variabel menunjukkan bagian negatif dari harapan yang menyimpang. Dengan demikian, ekspektasi rasio bahkan tidak terbatas: ia tidak terdefinisi. $-X_i$

whuber
sumber

+1 Saya baru saja mencoba kasus 'sederhana' , dan mencoba mengevaluasi harapan ... dan sampai pada kesimpulan yang sama: bahwa integral harapan tidak menyatu. Mungkin OP akan mengajukan kembali pertanyaan dalam bentuk yang berbeda, seperti perbedaan daripada rasio

n = 3

$n = 3$

serigala

Nilai yang diharapkan dari rasio maksimum dan variabel normal

Jawaban: