Apakah jumlah dari sejumlah besar variabel acak Cauchy independen Normal?

9

Dengan Central Limit Theorem, fungsi kepadatan probabilitas dari jumlah variabel acak independen besar cenderung menjadi Normal. Oleh karena itu dapatkah kita mengatakan bahwa jumlah sejumlah besar variabel acak Cauchy independen juga Normal?

random-variable central-limit-theorem cauchy urwaCFC
sumber
4
Apa hypohteses dari versi Central Limit Theorem yang telah Anda pelajari?
Brian Borchers

Jawaban:

16

Tidak.

Anda melewatkan salah satu asumsi utama dari teorema limit pusat:

... variabel acak dengan varian terbatas ...

Distribusi Cauchy tidak memiliki varian terbatas.

Distribusi Cauchy adalah contoh distribusi yang tidak memiliki rata-rata, varian atau momen yang lebih tinggi yang didefinisikan.

Faktanya

Jika adalah variabel acak independen dan terdistribusi secara identik, masing-masing dengan distribusi Cauchy standar, maka rata-rata sampel memiliki distribusi Cauchy standar yang sama.X 1 + ⋯ + X nX1,…,XnX1+⋯+Xnn

Jadi situasi dalam pertanyaan Anda cukup jelas, Anda tetap mendapatkan kembali distribusi Cauchy yang sama.

Apakah ini konsep distribusi yang stabil?

Iya. Distribusi stabil (ketat) (atau variabel acak) adalah distribusi kombinasi linear mana dari dua salinan iid didistribusikan secara proporsional ke distribusi asli. Distribusi Cauchy memang sangat stasioner.aX1+bX2

(*) Kutipan dari wikipedia.

Matthew Drury
sumber
Wow. Saya harus memoles konsep CLT saya. terima kasih banyak atas jawabannya.
urwaCFC
Cauchy adalah contoh yang sangat bagus di ruang ini. Hanya ada cukup massa di ekor sehingga rata-rata tidak menariknya ke arah rata-rata, tetapi tidak cukup bahwa outlier menyebabkan massa menumpuk di ekor. Ini tepat di batas tempat CLT gagal.
Matthew Drury
4
"Tepat di perbatasan tempat CLT gagal." Tidak cukup - distribusi dengan 2 derajat kebebasan akan memiliki terbatas, tetapi tak terbatas, sedangkan Cauchy tidak memilikinya. Untuk Cauchy, hukum jumlah besar bahkan tidak berlaku! E ( | X | ) E ( X 2 )tE(|X|)E(X2)
Andrew M
Ohhh, menarik! Saya kira saya benar-benar membaca beberapa nuansa di sana.
Matthew Drury
nX¯−μ