Terikat pada fungsi pembangkit momen

Pertanyaan ini muncul dari pertanyaan yang diajukan di sini tentang fungsi menghasilkan momen terikat (MGF).

Misalkan adalah variabel acak nol-rata-rata terikat yang mengambil nilai dalam dan biarkan menjadi MGF-nya. Dari batasan yang digunakan dalam bukti Ketimpangan Hoeffding , kita mendapatkan bahwa mana sisi kanan dikenali sebagai MGF dari variabel acak normal rata-rata nol dengan standar deviasi . Sekarang, standar deviasi tidak boleh lebih besar dari , dengan nilai maksimum yang terjadi ketika adalah variabel acak diskrit sehingga $X$$[-\sigma, \sigma]$$G(t) = E[e^{tX}]$G ( t ) = E [ e t X ] ≤ e σ 2 t 2 / 2 σ X σ X P { X = σ } = P { X = - σ } = 1

Pertanyaan saya adalah: apakah ini hasil yang terkenal dari kepentingan independen yang digunakan di tempat-tempat selain dalam bukti Ketimpangan Hoeffding, dan jika demikian, apakah itu juga diketahui meluas ke variabel acak dengan cara bukan nol?

$[a,b]$$X$$a < 0 < b$$E[X] = 0$

Saya tidak bisa menjawab bagian pertama dari pertanyaan Anda, tetapi untuk memperluasnya ke variabel acak dengan nol berarti ...

$Z$$[a+\mu,b+\mu]$$\mu$$X = Z-\mu$$[a,b]$$\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$$\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

$\sigma_\text{max}$