Statistik Kemandirian dan Ketertiban

Saya memiliki masalah, yang tidak dapat saya lanjutkan. Bisakah seseorang membantu saya memulai?

$Y_1<Y_2<Y_3$ : Statistik pesanan ukuran 3 dari distribusi yang memiliki pdf Juga, tentukan Tugasnya adalah untuk menghitung pdf gabungan dari .

$$f(x)=2x\ \ \ 0<x<1$$ $$U_1={Y_1\over Y_2} \ \ \text{and }\ \ \ U_2={Y_2\over Y_3}$$ $U_1\ \&\ U_2$

Pekerjaan saya: Saya menemukan margin dari .$U_1\ \&\ U_2$

$$P(U_1\le u_1)=\int_0^1\int_0^{u_1y_2}f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)dy_1dy_2$$ $$P(U_2\le u_2)=\int_0^1\int_0^{u_2y_3}f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3)dy_2dy_3$$ Langkah apa yang harus saya lakukan selanjutnya?

Berikut ini adalah panduan untuk menyelesaikan masalah ini (dan yang lainnya menyukainya). Saya menggunakan nilai simulasi untuk menggambarkan, jadi mari kita mulai dengan mensimulasikan sejumlah besar realisasi independen dari distribusi dengan kepadatan . (Semua kode dalam jawaban ini dituliskan .)$f$R

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Histogram menunjukkan realisasi independen dari elemen pertama, kedua, dan ketiga dari dataset. Grafik kurva merah . Bahwa mereka bertepatan dengan histogram menegaskan simulasi berfungsi sebagaimana dimaksud.$40,000$$f$

Anda harus kepadatan sambungan . $(Y_1, Y_2, Y_3)$Karena Anda mempelajari statistik pesanan, ini harus rutin - tetapi kode memberikan beberapa petunjuk, karena plot distribusi mereka untuk referensi.

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Data yang sama telah disusun kembali dalam masing-masing dari dataset. Di sebelah kiri adalah histogram minima , di sebelah kanan maksimal , dan di tengah median mereka .$40,000$$Y_1$$Y_3$$Y_2$

Selanjutnya, hitung distribusi gabungan secara langsung. $(U_1, U_2)$ Menurut definisi ini

$$F(u_1, u_2) = \Pr(U_1 \le u_1, U_2 \le u_2) = \Pr(Y_1 \le u_1 Y_2, Y_2 \le u_2 Y_3).$$

Karena Anda telah menghitung densitas gabungan , ini adalah masalah rutin untuk melakukan integral (rangkap tiga) yang diekspresikan oleh probabilitas kanan. Wilayah integrasi harus$(Y_1, Y_2, Y_3)$

$$0 \le Y_1 \le u_1 Y_2,\ 0 \le Y_2 \le u_2 Y_3,\ 0 \le Y_3 \le 1.$$

Simulasi dapat memberi kita firasat tentang bagaimana didistribusikan: di sini adalah sebar nilai realisasi dari . Jawaban teoritis Anda harus menggambarkan kerapatan ini.$(U_1, U_2)$$(U_1, U_2)$

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

Sebagai cek, kita dapat melihat distribusi marginal dan membandingkannya dengan solusi teoritis. Kepadatan marginal, ditampilkan sebagai kurva merah, diperoleh sebagai dan .$\partial F(u_1, 1)/\partial u_1$$\partial F(1, u_2)/\partial u_2$

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

Sangat aneh bahwa memiliki distribusi yang sama dengan asli .$U_1$$X_i$

Berikut ini adalah solusi simbolis yang tepat yang menelusuri langkah-langkah yang diperlukan ... di sini menggunakan alat otomatis untuk melakukan seluk-beluk

Biarkan menunjukkan sampel ukuran 3 dari induk pdf :$(X_1, X_2, X_3)$$f(x)$

Kemudian, pdf gabungan dari sampel yang dipesan adalah say :$(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)})$$g(x_1,x_2,x_3)$

di mana saya menggunakan OrderStatfungsi membentuk paket mathStatica untuk Mathematica .

gabungan adalah :$(U_1, U_2)$$P\big(\frac{X_{(1)}}{X_{(2)}}<u_1, \,\frac{X_{(2)}}{X_{(3)}}<u_2\big)$

Pdf gabungan dari diturunkan dengan hanya membedakan cdf wrt dan :$(U_1, U_2)$$u_1$$u_2$

Akhirnya, sebagai pemeriksaan cepat Monte Carlo, berikut adalah perbandingan:

• solusi teoritis yang tepat diturunkan (pdf bersama - permukaan oranye)

• diplot terhadap piri simultan Monte Carlo yang disimulasikan (histogram 3D):