Apa artinya mengintegrasikan lebih dari ukuran acak?

Saat ini saya sedang melihat makalah dari model efek acak proses Dirichlet dan spesifikasi model adalah sebagai berikut: mana adalah parameter skala dan adalah ukuran dasar. Kemudian di makalah, disarankan agar kami mengintegrasikan fungsi di atas ukuran dasar seperti Apakah ukuran dasar dalam proses Dirichlet cdf atau itu pdf? Apa yang terjadi jika ukuran dasar adalah Gaussian?

\begin{aligned} y_{saya} & = X_{saya} β + ψ_{saya} + ϵ_{saya} \\ ψ_{saya} & \sim G \\ G & \sim D P (α, G_{0}) \end{aligned}

$\begin{align*}y_{i} &= X_{i}\beta + \psi_{i} + \epsilon_{i}\\ \psi_{i} &\sim G \\ G &\sim \mathcal{DP}\left(\alpha, G_{0}\right) \end{align*}$

α

$\alpha$

G_{0}

$G_{0}$

G_{0}

$G_{0}$

\int f (y_{j} | θ, ψ_{j}) d G_{0} (ψ_{j}) .

$\int f\left(y_{j}|\theta, \psi_{j}\right)\, dG_{0}\left(\psi_{j}\right).$

bayesian dirichlet-distribution dirichlet-process nonparametric-bayes measure-theory Daeyoung Lim
sumber

Jawaban:

Ditunjukkan oleh ruang pengukuran probabilitas yang terukur, berisi realisasi proses Dirichlet. Ukuran probabilitas acak adalah fungsi yang dapat diukur dan integral yang terkait dengan adalah variabel acak Jadi sendiri merupakan pdf acak (jika adalah pdf). $\mathcal{M}$ $G$

G : ω \mapsto G_{ω} \in M.

$G : \omega \mapsto G_\omega \in \mathcal{M}$

G

$G$

\int f (\cdot | ψ) d G (ψ) : ω \mapsto \int f (\cdot | ψ) d G_{ω} (ψ) .

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi) : \omega \mapsto \int f(\,\cdot\,|\,\psi) dG_\omega(\psi).$

\int f (\cdot | ψ) d G (ψ)

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi)$

f (\cdot | ψ)

$f(\cdot| \psi)$

Idenya adalah bahwa mengikuti beberapa distribusi tidak diketahui . Dalam beberapa kasus, Anda mungkin memiliki alasan untuk percaya bahwa terdistribusi secara normal dan kemudian menempatkan prior pada mean dan varians. Dalam kasus lain, Anda tidak ingin membuat asumsi parametrik seperti itu. Dalam model Anda, misalnya, prior on adalah proses Dirichlet. $\psi_i$ $G$ $\psi_i$ $G$

Apakah ukuran dasar dalam proses Dirichlet cdf atau itu pdf?

Ukuran dasar adalah segala ukuran probabilitas, biasanya dianggap memiliki dukungan penuh. Dalam beberapa kasus, dapat diwakili oleh fungsi kepadatan probabilitas. Ini tidak terlalu penting.

Olivier
sumber