Interval kepercayaan dari momen ketiga dari distribusi normal

Cara menghitung interval kepercayaan yang tepat untuk momen ketiga dari distribusi normal $N(a, \sigma^2)$?

Untuk menemukan interval kepercayaan untuk kuantitas ini, Anda perlu membentuk kuantitas penting yang menggunakan momen mentah ketiga sebagai satu-satunya parameter yang tidak diketahui. Ini mungkin tidak mungkin untuk melakukan ini persis, tapi Anda biasanya bisa mendapatkan sesuatu yang merupakan sekitar kuantitas penting yang dapat digunakan untuk membentuk interval kepercayaan perkiraan. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita akan menemukan bentuk momen mentah ketiga yang diperkirakan, kemudian membangun penduga sampel dari momen ini, dan kemudian mencoba menggunakan ini untuk membangun kuantitas kuasi-sangat penting dan menghasilkan interval kepercayaan.

---

Apa momen mentah ketiga dari distribusi normal? Mengambil$X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)$ menjadi variabel acak normal yang ditentukan dan ditentukan $Y = X-\mu \sim \text{N}(0, \sigma^2)$. Momen mentah ketiga$X$ adalah:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mu_3 \equiv \mathbb{E}(X^3) &= \mathbb{E}((\mu + Y)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(Y^3 + 3 \mu Y^2 + 3 \mu^2 Y + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \sigma^2 + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= 3 \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Ini adalah parameter yang Anda coba perkirakan dalam analisis Anda.

---

Estimator yang tidak disesuaikan untuk momen mentah ketiga: Biasanya kita akan memperkirakan parameter rata-rata dengan sampel rata-rata dan parameter varians dengan varians sampel, tetapi dalam hal ini kami ingin memperkirakan fungsi dari hal-hal ini, dan substitusi dari penaksir ini cenderung untuk menyebabkan estimator yang bias. Kami akan mulai dengan mencoba menemukan penaksir yang tidak bias dari momen mentah ketiga. Untuk melakukan ini, kita mulai dengan mencatat bahwa:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}((\mu + \bar{Y}_n)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{Y}_n^3 + 3 \mu \bar{Y}_n^2 + 3 \mu^2 \bar{Y}_n + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \frac{\sigma^2}{n} + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Kita tahu dari teorema Cochran bahwa mean sampel dan varians sampel dari data normal adalah independen, dan demikian juga kita miliki$\mathbb{E}(\bar{X}_n S_n^2) = \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(S_n^2) = \mu \sigma^2$. Oleh karena itu, berdasarkan hasil ini, kita dapat membentuk penaksir yang tidak bias :

$$\hat{\mu}_3 = \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3.$$

---

Varian dari estimator: Kita tahu bahwa nilai yang diharapkan dari estimator ini sama dengan momen mentah ketiga dari distribusi (untuk melihat ini, gantikan ekspresi nilai yang diharapkan di atas), namun varian estimasi tersebut sulit didapat. Sebagai hasil awal kami memiliki:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) &= \mathbb{V}(\bar{X}_n) \mathbb{V}(S^2) \\[6pt] &= \frac{1}{n} \sigma^2 \cdot \frac{2}{n-1} \sigma^4 \\[6pt] &= \frac{2}{n(n-1)} \sigma^6, \\[12pt] \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^6) - \mathbb{E}(\bar{X}_n^3)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{9}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) \\[6pt] &= \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2, \\[12pt] \mathbb{C}(\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4 S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n S^2) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4) \mathbb{E}(S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \mathbb{E}(S^2) \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \mu \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \Big( \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^2} \sigma^6 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^4. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Ini memberi kita varians:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\hat{\mu}_3) &= \mathbb{V} \Big( \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3 \Big) \\[6pt] &= \frac{9(n-1)^2}{n^2} \cdot \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) + \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) + \frac{3(n-1)}{n} \cdot \mathbb{C} (\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \frac{18(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2 \Big) + \Big( \frac{9(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \frac{9(n-1)}{n^2} \mu^2 \sigma^4 \Big) \\[6pt] &= \frac{27n-12}{n^3} \cdot \sigma^6 + \frac{9n+27}{n^2} \cdot \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \cdot \mu^4 \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^3} \Big[ (9n-4) \sigma^6 + (3n^2+9n) \mu^2 \sigma^4 + 3n^2 \mu^4 \sigma^2 \Big]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

---

Membentuk interval kepercayaan: Dari hasil di atas, kita dapat memperoleh penaksir yang tidak bias untuk momen mentah ketiga, dengan varian yang diketahui. Distribusi tepat dari penaksir ini rumit, dan kepadatannya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk tertutup. Dimungkinkan untuk membentuk kuantitas pelajar dengan estimator ini, memperkirakan distribusinya, dan memperlakukannya sebagai kuantitas kuasi-penting untuk mendapatkan perkiraan interval kepercayaan. Namun, ini tidak akan menjadi interval kepercayaan yang tepat.

---