Saya terus membaca di jurnal ekonomi tentang hasil tertentu yang digunakan dalam model utilitas acak. Salah satu versi hasilnya adalah: jika Gumbel ( , maka:
dengan adalah konstanta Euler-Mascheroni. Saya telah memeriksa bahwa ini masuk akal menggunakan R, dan itu benar. CDF untuk distribusi Gumbel adalah:
Saya mencoba untuk menemukan bukti ini dan saya tidak berhasil. Saya sudah mencoba membuktikannya sendiri tetapi saya tidak bisa melewati langkah tertentu.
Adakah yang bisa mengarahkan saya ke bukti ini? Jika tidak, mungkin saya dapat mengirim bukti percobaan saya ke tempat saya macet.
expected-value
gumbel
Jason
sumber
sumber
Jawaban:
Saya menghargai karya yang diperlihatkan dalam jawaban Anda: terima kasih atas kontribusi itu. Tujuan dari posting ini adalah untuk memberikan demonstrasi yang lebih sederhana. Nilai kesederhanaan adalah pengungkapan: kita dapat dengan mudah mendapatkan seluruh distribusi maksimum, bukan hanya harapannya.
Abaikan dengan menyerapnya ke dan mengasumsikan semuanya memiliki distribusi Gumbel . (Yaitu, ganti setiap dengan dan ubah menjadi .) Ini tidak mengubah variabel acakμ δi ϵi (0,1) ϵi ϵi−μ δi δi+μ
Independensi dari menyiratkan untuk semua nyata yang adalah produk dari peluang individu . Mengambil log dan menerapkan sifat dasar dari hasil eksponensialϵi x Pr(X≤x) Pr(δi+ϵi≤x)
Ini adalah logaritma CDF dari distribusi Gumbel dengan parameter lokasi Itu adalah,λ=log∑ieδi.
Ini jauh lebih banyak informasi daripada yang diminta. The rata distribusi seperti ini yang melibatkanγ+λ,
QED.
sumber
Ternyata sebuah Econometrica artikel oleh Kenneth Kecil dan Harvey Rosen menunjukkan ini pada tahun 1981, tetapi dalam konteks yang sangat khusus sehingga hasilnya membutuhkan banyak menggali, belum lagi beberapa pelatihan di bidang ekonomi. Saya memutuskan untuk membuktikannya dengan cara yang menurut saya lebih mudah diakses.
Bukti : Biarkan menjadi jumlah alternatif. Bergantung pada nilai vektor , fungsi mengambil nilai yang berbeda. Pertama, fokus pada nilai sedemikian rupa sehingga . Yaitu, kami akan mengintegrasikan ke set :J ϵ={ϵ1,...,ϵJ} maxi(δi+ϵi) ϵ maxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1 δ1+ϵ1 M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Istilah di atas adalah yang pertama dari istilah tersebut dalam . Secara khusus,J E[maxi(δi+ϵi)]
Sekarang kita menerapkan bentuk fungsional dari distribusi Gumbel. Ini memberi
di mana langkah kedua berasal dari mengumpulkan salah satu istilah eksponensial ke dalam produk, bersama dengan fakta bahwa jika .δj−δi=0 i=j
Sekarang kita mendefinisikan , dan membuat substitusi , sehingga dan . Perhatikan bahwa ketika mendekati infinity, mendekati 0, dan saat mendekati infinity negatif, mendekati infinity.Di≡∑jeδj−δi x=Dieμ−ϵi dx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵi ϵi=μ−log(xDi) ϵi x ϵi x
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai . Untuk nilai yang merupakan bilangan bulat positif, ini setara dengan, jadi . Selain itu, diketahui bahwa konstanta Euler-Mascheroni, memenuhiΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdx t Γ(t)=(t−1)! Γ(1)=0!=1 γ≈0.57722
Menerapkan fakta-fakta ini memberi
Lalu kami menjumlahkan untuk mendapatkani
Ingat bahwa . Perhatikan bahwa probabilitas pilihan logit yang familier adalah invers dari , atau dengan kata lain . Perhatikan juga bahwa . Lalu kita punyaDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδi Pi=eδi∑jδj Di Pi=1/Di ∑iPi=1
sumber