Ekspektasi Maksimum dari Variabel Gumbel id

12

Saya terus membaca di jurnal ekonomi tentang hasil tertentu yang digunakan dalam model utilitas acak. Salah satu versi hasilnya adalah: jika ϵiiid, Gumbel ( μ,1),i , maka:

E[maxi(δi+ϵi)]=μ+γ+ln(iexp{δi}),

dengan γ0.52277 adalah konstanta Euler-Mascheroni. Saya telah memeriksa bahwa ini masuk akal menggunakan R, dan itu benar. CDF untuk distribusi Gumbel (μ,1) adalah:

G(ϵi)=exp(exp((ϵiμ)))

Saya mencoba untuk menemukan bukti ini dan saya tidak berhasil. Saya sudah mencoba membuktikannya sendiri tetapi saya tidak bisa melewati langkah tertentu.

Adakah yang bisa mengarahkan saya ke bukti ini? Jika tidak, mungkin saya dapat mengirim bukti percobaan saya ke tempat saya macet.

Jason
sumber

Jawaban:

7

Saya menghargai karya yang diperlihatkan dalam jawaban Anda: terima kasih atas kontribusi itu. Tujuan dari posting ini adalah untuk memberikan demonstrasi yang lebih sederhana. Nilai kesederhanaan adalah pengungkapan: kita dapat dengan mudah mendapatkan seluruh distribusi maksimum, bukan hanya harapannya.


Abaikan dengan menyerapnya ke dan mengasumsikan semuanya memiliki distribusi Gumbel . (Yaitu, ganti setiap dengan dan ubah menjadi .) Ini tidak mengubah variabel acakμδiϵi(0,1)ϵiϵiμδiδi+μ

X=maxi(δi+ϵi)=maxi((δi+μ)+(ϵiμ)).

Independensi dari menyiratkan untuk semua nyata yang adalah produk dari peluang individu . Mengambil log dan menerapkan sifat dasar dari hasil eksponensialϵixPr(Xx)Pr(δi+ϵix)

logPr(Xx)=logiPr(δi+ϵix)=ilogPr(ϵixδi)=ieδiex=exp(x+logieδi).

Ini adalah logaritma CDF dari distribusi Gumbel dengan parameter lokasi Itu adalah,λ=logieδi.

X memiliki distribusi Gumbel .(logieδi,1)

Ini jauh lebih banyak informasi daripada yang diminta. The rata distribusi seperti ini yang melibatkanγ+λ,

E[X]=γ+logieδi,

QED.

whuber
sumber
12

Ternyata sebuah Econometrica artikel oleh Kenneth Kecil dan Harvey Rosen menunjukkan ini pada tahun 1981, tetapi dalam konteks yang sangat khusus sehingga hasilnya membutuhkan banyak menggali, belum lagi beberapa pelatihan di bidang ekonomi. Saya memutuskan untuk membuktikannya dengan cara yang menurut saya lebih mudah diakses.

Bukti : Biarkan menjadi jumlah alternatif. Bergantung pada nilai vektor , fungsi mengambil nilai yang berbeda. Pertama, fokus pada nilai sedemikian rupa sehingga . Yaitu, kami akan mengintegrasikan ke set :Jϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j1}

EϵM1[maxi(δi+ϵi)]=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[δ1+ϵ1δ2...δ1+ϵ1δJf(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(δ1+ϵ1δ2f(ϵ2)dϵ2)...(δ1+ϵ1δJf(ϵJ)dϵJ)dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1δ2)...F(δ1+ϵ1δJ)dϵ1

Istilah di atas adalah yang pertama dari istilah tersebut dalam . Secara khusus,JE[maxi(δi+ϵi)]

E[maxi(δi+ϵi)]=iEϵMi[maxi(δi+ϵi)].

Sekarang kita menerapkan bentuk fungsional dari distribusi Gumbel. Ini memberi

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=(δi+ϵi)eμϵieeμϵijieeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵijeeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{jeμϵi+δjδi}dϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{eμϵijeδjδi}dϵi

di mana langkah kedua berasal dari mengumpulkan salah satu istilah eksponensial ke dalam produk, bersama dengan fakta bahwa jika .δjδi=0i=j

Sekarang kita mendefinisikan , dan membuat substitusi , sehingga dan . Perhatikan bahwa ketika mendekati infinity, mendekati 0, dan saat mendekati infinity negatif, mendekati infinity. Dijeδjδix=Dieμϵidx=DieμϵidϵidxDi=eμϵidϵiϵi=μlog(xDi)ϵixϵix

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=0(δi+μlog[xDi])(1Di)exp{x}dx=1Di0(δi+μlog[xDi])exdx=δi+μDi0exdx1Di0log[x]exdx+log[Di]Di0exdx

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai . Untuk nilai yang merupakan bilangan bulat positif, ini setara dengan, jadi . Selain itu, diketahui bahwa konstanta Euler-Mascheroni, memenuhiΓ(t)=0xt1exdxtΓ(t)=(t1)!Γ(1)=0!=1γ0.57722

γ=0log[x]exdx.

Menerapkan fakta-fakta ini memberi

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di

Lalu kami menjumlahkan untuk mendapatkani

E[maxi(δi+ϵi)]=iδi+μ+γ+log[Di]Di

Ingat bahwa . Perhatikan bahwa probabilitas pilihan logit yang familier adalah invers dari , atau dengan kata lain . Perhatikan juga bahwa . Lalu kita punyaDi=jeδjδi=jeδjeδiPi=eδijδjDiPi=1/DiiPi=1

E[maxi(δi+ϵi)]=iPi(δi+μ+γ+log[Di])=(μ+γ)iPi+iPiδi+iPilog[Di]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδjeδi]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδj]iPilog[eδi]=μ+γ+iPiδi+log[jeδj]iPiiPiδi=μ+γ+log[jexp{δj}].
QED
Jason
sumber
3
Saya menautkan apa yang saya yakini sebagai artikel yang Anda maksudkan, tanpa benar-benar melihatnya secara pasti; tolong perbaiki jika salah.
Dougal
@Jason Apakah Anda tahu cara membuktikan apa ini ketika maks bersyarat pada satu menjadi maks? Lihat pertanyaan di sini yang belum terpecahkan: stats.stackexchange.com/questions/260847/…
wolfsatthedoor atau