Apa momen dari variabel acak gabungan?

Pertanyaan sederhana, namun secara mengejutkan sulit untuk menemukan jawaban online.

Saya tahu bahwa untuk RV , kita mendefinisikan momen k sebagai mana kesetaraan mengikuti jika , untuk kepadatan dan Tindakan Lebesgue .$X$

$$\int X^k \ d P = \int x^k f(x) \ dx$$ $p = f \cdot m$$f$$m$

Jadi, apa momen ke-k dari, katakanlah, ? sepertinya bukan jawaban untuk saya ....$(X,Y)$$\int (X,Y) \ d P$

Tidak ada "yang" sehubungan dengan momen, karena ada banyak dari mereka, tetapi momen variabel bivariat diindeks oleh dua indeks, bukan satu.

Jadi daripada momen -th, Anda miliki momen -th, (kadang-kadang ditulis ketika itu tidak ambigu). Kita mungkin berbicara tentang , momen atau , momen , atau , dan seterusnya.$k$$\mu_k$$(j,k)$$\mu_{j,k}$$\mu_{jk}$$\mu_{1,1}$$(1,1)$$\mu_{1,2}$$(1,2)$$\mu_{2,2}$

Ini kadang-kadang disebut momen campuran.

Jadi generalisasi contoh berkelanjutan satu dimensi Anda,

$\mu_{j,k} = \int\int x^j y^k f(x,y) \, dx dy$

Ini digeneralisasikan ke dimensi yang lebih tinggi.

Seperti yang disebutkan oleh @ Glen_b ♦, momen digeneralisasikan ke lintas-momen (menghubungkan konsep: fungsi pembangkit momen bersama , fungsi karakteristik gabungan dan kumulant ) dalam dimensi yang lebih tinggi.

Yang mengatakan, bagi saya definisi ini tidak terasa seperti setara dengan momen univariat, karena cross-moment mengevaluasi ke bilangan real, tetapi untuk, katakanlah, vektor normal multivariat, mean adalah vektor dan variansnya adalah matriks . Saya berspekulasi bahwa seseorang mungkin mendefinisikan "momen" berdimensi lebih tinggi menggunakan turunan dari fungsi karakteristik gabungan , di sini turunan digeneralisasikan menggunakan tensor rank (jadi turunan orde kedua akan menjadi matriks Hessian).$\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t})=E[e^{i\mathbf{t}'\mathbf{X}}]$$k$

Ada banyak topik terkait lainnya yang menarik, seperti: Ukuran Kecenderungan Multivarian dan Kurtosis dengan Aplikasi .