Biarkan menjadi ruang probabilitas. Dugaan:(Ω,F,P)
Misalkan kita memiliki acara st , atau . Terdapat rangkaian acara yang independen stA1,A2,...∀ A∈⋂nσ(An,An+1,...)P(A)=01B1,B2,...
τAn:=⋂nσ(An,An+1,...)=⋂nσ(Bn,Bn+1,...):=τBn
Apakah ini benar?
Saya pikir ada fungsi st adalah independen sehingga kita dapat memilih . Benarkah? Kenapa / Kenapa tidak? Jika tidak, bagaimana lagi saya bisa membuktikan atau menyangkal dugaan di atas? Jika itu benar, saya pikir itu bisa dibuktikan dengan memodifikasi bukti UU 0-1 Kolmogorov (untuk acara).f:N→NAf(n)Bn=Af(n)
Mungkin salah satu dari rangkaian set ini independen:
An
A2n,A2n+1
SEBUAH3 n,SEBUAH3 n + 1,SEBUAH3 n + 2
⋮
SEBUAHm n,SEBUAHm n + 1,SEBUAHm n + 2, . . . ,SEBUAHm n + ( m - 1 )
⋮
Saya pikir kita memilikinya
τSEBUAHn=τSEBUAHm n + i: =⋂nσ(SEBUAHm n + i,SEBUAHm ( n + 1 ) + i, . . . )
di mana dan .m ∈ Ni∈{0,1,2,...,m−1}
Sepertinya kita memerlukan , jika ada, untuk memenuhi kondisi berikut:f(n)
σ(Af(n),Af(n+1)...)⊆σ(An,An+1,...)(**)
yang saya kira benar jika (dan hanya jika?)f(n)≥n .
Kandidat lain yang mungkin untuk :f(n) (asumsikan variabelnya adalah st puas. Jika perlu, atau juga.)f:N→N(∗∗)f(n)≥n
∑mi=0aini
2n,3n,...
∑mi=1bicni
⌊tn⌋,⌈tn⌉ ( saya kirat>e1/e )
⌊∑mi=1bicni⌋,⌈∑mi=1bicni⌉
⌊linear combination of trigonometric functions⌋,⌈linear combination of trigonometric functions⌉
⌊Some linear combination of the above⌋,⌈Some linear combination of the above⌉
Dengan asumsi dugaan itu benar , saya kira itu tidak perlu untuk menemukan yang berfungsi untuk semua urutan kemungkinan peristiwa karena tersebut bahkan mungkin tidak ada.f(n)A1,A2,...f(n)
Untuk menyangkal dugaan : Saya kira kita harus menunjukkan bahwa urutan yang independen berarti tail tidak akan pernah sama dengan tail karena tail akan menjadi trivial oleh Kolmogorov 0-1 Law (untuk acara).BnBnAnBnP−
Sesuatu yang mungkin membantu: kita dapat menunjukkan bahwa atau dan tidak independen, tetapi saya tidak yakin bahwa dugaan tersebut ditolak karena kami dapat membangun beberapa yang terlihat seperti:∀ A∈⋂nσ(Af(n),Af(n+1),...),P(A)=01∀n∈N,Af(n),Af(n+1),...Bn
Bn=An+1∖An
Bn=An∖An−1,A0=∅
Bn=⋂mAmn
Bn=⋃mAmn
B2n=⋂mAmn,B2n+1=⋃mAmn
Bn=lim supmAmn
Bn=lim infmAmn
B2n=lim supmAmn,B2n+1=lim infmAmn
Bukan untuk mengatakan tentu saja bahwa salah satu dari mereka 's memuaskan tapi itu tidak perlu dalam bentuk .BnτAn=τBnBnAf(n)
Borel-Cantelli:
Jika . Karenanya independen.∑nP(An)<∞→0=P(lim supAn)=P(lim supAmn) ∀m∈NBm=lim supAmn
Jika , maka mungkin ekstensi Borel-Cantelli ini ? Tidak yakin saya memahaminya atau bagaimana itu akan membantu. Saya tidak berpikir kita dapat menyimpulkan apa pun jika kita memiliki .∑nP(An)=∞P(lim supAn)
Lalu ada kasus tetapi kondisi sebelumnya tidak terpenuhi.∑nP(An)=∞
Jawaban:
Jika Anda ingin peristiwa yang independen dalam cara yang menarik (bukan hanya karena atau ) maka dugaan itu salah.Bn P(Bn)=0 P(Bn)=1
Ini adalah contoh yang bagus. Misalkan adalah ruang probabilitas kaya yang sesuai.(Ω,F,P)
Misalkan menjadi -null, yaitu . Ambil , sehingga ekor -gebra adalah .A∈F P P(A)=0 Ai=A σ G={∅,A,Ac,Ω}
Perhatikan bahwa khususnya terbatas.G
Sekarang, misalkan adalah urutan peristiwa yang independen dengan dibatasi dari dan . Maka tail -algebra tidak terhitung dihasilkan. (Lihat mis. Latihan 1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , yang menggunakan argumen seperti yang saya uraikan di atas- sembarang yang dihasilkan -trivial -algebra memiliki sebuah atom dengan massa , tetapi tidak memiliki atom semacam itu).B1,B2,… P(Bn) 0 1 σ H P σ 1 H
Jadi, terbatas, tetapi bahkan tidak terhitung.G H
Sunting 2: jika Anda menerimaP(Bn)=0 maka Anda dapat mereplikasi setiap yang dihasilkan -trivial -algebra. Secara lebih rinci, anggap bahwa dihasilkan oleh peristiwa . Jika adalah -trivial maka semuanya independen, berdasarkan menjadi nol (atau menjadi nol). Sekarang buat konstruksi segitiga untuk peristiwa :
, , . P σ G E1,E2,…∈G⊂F G P En Ecn B B1,1=E1 B2,1=E1,B2,2=E2,…,Bk,j=Ej 1≤j≤k
Maka adalah urutan yang dapat dihitung (dengan pengurutan alami untuk indeks) peristiwa independen yang ekornya -gebra adalah .(Bk,j) σ G
Jadi, di sini saya pikir adalah pertanyaan kunci: misalkan adalah -trivial tail -algebra (berasal dari peristiwa non-nol yang mungkin bergantung). Bisakah direalisasikan sebagai ekor -gebra untuk beberapa peristiwa nol?G P σ G σ
Sunting 1: Area abu-abu adalah apa yang terjadi jika Anda menerima , meskipun itu tampaknya bukan tekanan dari pertanyaan awal.P(Bn)→0
sumber