Apakah teorema Slutsky masih valid ketika dua sekuens keduanya konvergen ke variabel acak non-degenerasi?

Saya bingung tentang beberapa detail tentang teorema Slutsky :

Biarkan $\{X_n\}$ , $\{Y_n\}$ menjadi dua urutan elemen skalar / vektor / matriks acak.

Jika $X_n$ konvergen dalam distribusi ke elemen acak $X$ dan $Y_n$ konvergen dalam probabilitas ke konstan $c$, maka

$$\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$$ asalkan $c$ tidak dapat dibalik, di mana ${\xrightarrow {d}}$ menunjukkan konvergensi dalam distribusi.

Jika kedua urutan dalam teorema Slutsky keduanya konvergen ke variabel acak non-degenerasi, apakah teorema tersebut masih valid, dan jika tidak (dapatkah seseorang memberikan contoh?), Apa syarat tambahan untuk membuatnya valid?

Teorema Slutsky tidak mencakup dua urutan konvergen dalam distribusi ke variabel acak. Jika konvergen dalam distribusi ke Y , X n + Y n mungkin gagal untuk konvergen atau mungkin berkumpul untuk sesuatu yang lain dari X + Y .$Y_n$$Y$$X_n+Y_n$$X+Y$

Misalnya, jika untuk semua n 's, X n + Y n tidak menyatu dengan selisih dua rv dengan distribusi yang sama seperti X .$Y_n=-X_n$$n$$X_n+Y_n$$X$

Contoh tandingan lain adalah bahwa, ketika sekuens dan { Y n } independen dan keduanya konvergen dalam distribusi ke variabel N ( 0 , 1 ) yang normal , jika seseorang mendefinisikan X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) dan X 2 = - X 1 , lalu X n d → X 1 Y n d → X 2 $\{X_n\}$$\{Y_n\}$$\text{N}(0,1)$$X_1\sim\text{N}(0,1)$$X_2=-X_1$ Lihatjawabannya oleh Davideuntuk detail lebih lanjut tentang contoh ini.

$(X_0,Y_0)$$\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$$|\rho|\leqslant 1$$X_n:=X_0$$Y_n:=Y_0$$n\geqslant 1$$X_n\to X$$Y_n\to Y$$X$$Y$$X_n+Y_n$$2+2\rho$$X+Y$ , kami tidak dapat menyatakan bahwa dalam distribusi.$X_n+Y_n\to X+Y$

Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa kita mungkin memiliki secara umum dan dalam distribusi, tetapi jika kita tidak memiliki informasi tentang distribusi , konvergensi mungkin gagal.Y n → Y X + Y X n + Y n → X + $X_n\to X$$Y_n\to Y$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Tentu saja, semuanya baik-baik saja jika dalam distribusi (misalnya jika tidak bergantung pada dan dari Secara umum, kita hanya dapat menyatakan bahwa urutannya ketat (yaitu, untuk setiap positif , kita dapat menemukan sedemikian rupa sehingga ). Ini menyiratkan bahwa kita dapat menemukan urutan meningkatnya bilangan bulat sehingga konvergen dalam distribusi ke beberapa variabel acak .$(X_n,Y_n)\to (X,Y)$$X_n$$Y_n$$X$$Y$$(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$$\varepsilon$$R$$\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$Z$

Dalil. Terdapat urutan variabel acak Gaussian dan sedemikian rupa sehingga untuk setiap , kita dapat menemukan urutan peningkatan bilangan bulat sedemikian rupa sehingga menyatu dalam distribusi ke .$(X_n)_{n\geqslant 1}$$(Y_n)_{n\geqslant 1}$$\sigma\in [0,2]$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$N(0,\sigma^2)$

Bukti. Pertimbangkan enumerasi dari bilangan rasional dan sebuah bijection . Untuk , tentukan sebagai vektor berpusat Gaussian dari matriks kovarians . Dengan pilihan ini, orang dapat melihat bahwa kesimpulan proposisi puas ketika rasional. Gunakan argumen aproksimasi untuk kasus umum.[ - 1 , 1 ] τ : N → N 2 n ∈ τ - 1 ( { j } ) × N ( X n , Y n ) ( 1 r j r j 1 )$(r_j)$$[-1,1]$$\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$$n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$$(X_n,Y_n)$$\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$$\sigma$