Adakah yang bisa menunjukkan bagaimana nilai yang diharapkan dan varians dari nol meningkat inflasi, dengan fungsi massa probabilitas
di mana adalah probabilitas bahwa pengamatan adalah nol oleh proses binomial dan adalah rata-rata dari Poisson, diturunkan?
Hasilnya adalah nilai yang diharapkan dan variansinya adalah .
TAMBAH: Saya sedang mencari proses. Misalnya, dapatkah Anda menggunakan fungsi menghasilkan momen? Pada akhirnya saya ingin melihat bagaimana melakukan ini untuk lebih memahami gamma nol dan lainnya, juga.
Jawaban:
Metode 0 : Ahli statistik yang malas.
Perhatikan bahwa untuk kita memiliki mana adalah probabilitas bahwa variabel acak Poisson mengambil nilai . Karena istilah yang berhubungan dengan tidak mempengaruhi nilai yang diharapkan, pengetahuan kita tentang Poisson dan linearitas harapan segera memberi tahu kita bahwa dany≠0 f(y)=(1−π)py py y y=0
Aljabar kecil dan identitas menghasilkan hasilnya.Var(Y)=EY2−μ2
Metode 1 : Argumen probabilistik.
Seringkali bermanfaat untuk memiliki model probabilistik sederhana tentang bagaimana suatu distribusi muncul. Biarkan dan menjadi variabel acak independen. Tentukan Maka, mudah untuk melihat bahwa memiliki distribusi yang diinginkan . Untuk memeriksa ini, perhatikan bahwa oleh kemerdekaan. Demikian pula untuk .Z∼Ber(1−π) Y∼Poi(λ)
Dari sini, sisanya mudah, karena dengan independensi dan , dan,Z Y
Metode 2 : Perhitungan langsung.
Nilai rata-rata mudah diperoleh dengan sedikit trik menarik satu keluar dan menulis ulang batas jumlah.λ
Trik serupa juga berlaku untuk momen kedua: dari mana kita dapat melanjutkan dengan aljabar seperti pada metode pertama.
Tambahan : Ini merinci beberapa trik yang digunakan dalam perhitungan di atas.
Ingat pertama bahwa .∑∞k=0λkk!=eλ
Kedua, perhatikan bahwa di mana substitusi dibuat pada langkah kedua hingga terakhir.
Secara umum, untuk Poisson, mudah untuk menghitung momen faktorial karena jadi . Kita dapat "melompat" ke indeks ke- untuk memulai penjumlahan dalam persamaan pertama karena untuk setiap , karena tepat satu istilah dalam produk adalah nol.EX(n)=EX(X−1)(X−2)⋯(X−n+1)
sumber