Berarti dan varians dari distribusi Poisson nol-meningkat

11

Adakah yang bisa menunjukkan bagaimana nilai yang diharapkan dan varians dari nol meningkat inflasi, dengan fungsi massa probabilitas

f(y)={π+(1π)eλ,if y=0(1π)λyeλy!,if y=1,2....

di mana adalah probabilitas bahwa pengamatan adalah nol oleh proses binomial dan adalah rata-rata dari Poisson, diturunkan?πλ

Hasilnya adalah nilai yang diharapkan dan variansinya adalah .μ=(1π)λμ+π1πμ2

TAMBAH: Saya sedang mencari proses. Misalnya, dapatkah Anda menggunakan fungsi menghasilkan momen? Pada akhirnya saya ingin melihat bagaimana melakukan ini untuk lebih memahami gamma nol dan lainnya, juga.

B_Miner
sumber
1
Tampaknya Anda tahu model bagaimana distribusi probabilitas seperti itu akan muncul. Bisakah Anda menggunakannya untuk membantu Anda?
kardinal

Jawaban:

22

Metode 0 : Ahli statistik yang malas.

Perhatikan bahwa untuk kita memiliki mana adalah probabilitas bahwa variabel acak Poisson mengambil nilai . Karena istilah yang berhubungan dengan tidak mempengaruhi nilai yang diharapkan, pengetahuan kita tentang Poisson dan linearitas harapan segera memberi tahu kita bahwa dan y0f(y)=(1π)pypyyy=0

μ=(1π)λ
EY2=(1π)(λ2+λ).

Aljabar kecil dan identitas menghasilkan hasilnya.Var(Y)=EY2μ2

Metode 1 : Argumen probabilistik.

Seringkali bermanfaat untuk memiliki model probabilistik sederhana tentang bagaimana suatu distribusi muncul. Biarkan dan menjadi variabel acak independen. Tentukan Maka, mudah untuk melihat bahwa memiliki distribusi yang diinginkan . Untuk memeriksa ini, perhatikan bahwa oleh kemerdekaan. Demikian pula untuk .ZBer(1π)YPoi(λ)

X=ZY.
XfP(X=0)=P(Z=0)+P(Z=1,Y=0)=π+(1π)eλP(X=k)=P(Z=1,Y=k)k0

Dari sini, sisanya mudah, karena dengan independensi dan , dan, ZY

μ=EX=EZY=(EZ)(EY)=(1π)λ,
Var(X)=EX2μ2=(EZ)(EY2)μ2=(1π)(λ2+λ)μ2=μ+π1πμ2.

Metode 2 : Perhitungan langsung.

Nilai rata-rata mudah diperoleh dengan sedikit trik menarik satu keluar dan menulis ulang batas jumlah. λ

μ=k=1(1π)keλλkk!=(1π)λeλj=0λjj!=(1π)λ.

Trik serupa juga berlaku untuk momen kedua: dari mana kita dapat melanjutkan dengan aljabar seperti pada metode pertama.

EX2=(1π)k=1k2eλλkk!=(1π)λeλj=0(j+1)λjj!=(1π)(λ2+λ),

Tambahan : Ini merinci beberapa trik yang digunakan dalam perhitungan di atas.

Ingat pertama bahwa .k=0λkk!=eλ

Kedua, perhatikan bahwa di mana substitusi dibuat pada langkah kedua hingga terakhir.

k=0kλkk!=k=1kλkk!=k=1λk(k1)!=k=1λλk1(k1)!=λj=0λjj!=λeλ,
j=k1

Secara umum, untuk Poisson, mudah untuk menghitung momen faktorial karena jadi . Kita dapat "melompat" ke indeks ke- untuk memulai penjumlahan dalam persamaan pertama karena untuk setiap , karena tepat satu istilah dalam produk adalah nol.EX(n)=EX(X1)(X2)(Xn+1)

eλEX(n)=k=nk(k1)(kn+1)λkk!=k=nλnλkn(kn)!=λnj=0λjj!=λneλ,
EX(n)=λnn0k<nk(k1)(kn+1)=0
kardinal
sumber
Kardinal, ini luar biasa. Maukah Anda memberikan detail cepat tentang cara mencabut ? Penjumlahan saya <sangat> berkarat. Terima kasih! λ
B_Miner
Terima kasih lagi untuk ini. Ini mungkin pertanyaan yang mudah, tetapi apa yang terjadi pada bagian atas pdf (ketika y = 0) mengapa tidak dimasukkan dalam perhitungan untuk ? π+(1π)eλμ
B_Miner
1
Ingat definisi nilai yang diharapkan untuk variabel acak diskrit: . Jadi untuk , istilah dalam nilai yang diharapkan adalah . μ=EY=y=0yP(Y=y)y=00(π+(1π)eλ)=0
kardinal