Jika

Membiarkan $A$ dan $B$ menjadi acara independen, dan biarkan $A$ dan $C$menjadi acara independen. Bagaimana saya menunjukkannya$A$ dan $B\cup C$ ada acara independen juga?

Menurut definisi peristiwa independen, $A$ dan $B\cup C$ independen jika dan hanya jika

$$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$$

Sejak $A$ dan $B$ dan $A$ dan $C$ independen, saya tahu itu

$$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$$

Namun, saya tidak tahu bagaimana menyelesaikannya. Saya mencoba menerapkan aturan probabilitas yang saya tahu tetapi tidak berhasil.

Membiarkan $A$ dan $B$ menjadi acara independen, dan biarkan $A$ dan $C$menjadi acara independen. Bagaimana saya menunjukkannya$A$ dan $B\cup C$ ada acara independen juga?

Anda tidak dapat menampilkan hasil ini karena tidak berlaku untuk semua $A, B, C$ menikmati properti ini. Pertimbangkan contoh tandingan berikut.

Pertimbangkan dua lemparan independen dari koin yang adil. Membiarkan$B=\{HT,HH\}$ dan $C=\{HT,TT\}$menjadi peristiwa yang menghasilkan lemparan pertama dan kedua masing-masing Kepala dan Ekor. Membiarkan$A=\{HT,TH\}$ menjadi acara yang tepat satu lemparan menghasilkan Kepala.

Kemudian, $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ sementara $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ dan sebagainya $A$ dan $B$ adalah acara independen sebagaimana adanya $A$ dan $C$acara independen. Memang,$B$ dan $C$ juga merupakan peristiwa independen (yaitu, $A$, $B$, dan $C$adalah peristiwa independen berpasangan ). Namun,

$$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$$ dan sebagainya $A$ dan $B\cup C$adalah peristiwa dependen .

---

Menyingkirkan contoh tandingan kami, mari kita pertimbangkan kondisi apa yang diperlukan untuk membuat $A$ dan $B\cup C$acara independen. Jawaban lain sudah melakukan pekerjaan untuk kita. Kami memilikinya

$$\begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align}$$ dan sebagainya $P(A\cap (B\cup C))$ sama dengan $P(A)P(B \cup C)$ (seperti yang diperlukan untuk membuktikannya $A$ dan $B\cup C$ adalah peristiwa independen) kapan tepatnya $P(A)P(B\cap C)$ sama dengan $P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$, saat itulah $A$ dan $B\cap C$ adalah acara independen.

$A$ dan $B\cup C$ adalah acara independen kapan saja $A$ dan $B\cap C$ adalah acara independen.

Perhatikan apakah itu $B$ dan $C$ independen atau tidak tidak relevan dengan masalah yang dihadapi: dalam contoh tandingan di atas, $B$ dan $C$ adalah peristiwa independen dan belum$A = \{HT, TH\}$ dan $B\cap C = \{HT\}$bukan peristiwa independen. Tentu saja, seperti dicatat oleh Deep North, jika$A$, $B$, dan $C$adalah peristiwa yang saling independen (yang membutuhkan tidak hanya kemerdekaan$B$ dan $C$ tetapi juga untuk $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ untuk memegang), lalu $A$ dan $B\cap C$ memang acara independen. Kemandirian bersama$A$, $B$ dan $C$adalah kondisi yang cukup .

Memang kalau $A$ dan $B\cap C$ adalah peristiwa independen, maka, bersama dengan hipotesis itu $A$ dan $B$ independen, seperti juga $A$ dan $C$ acara independen, kami dapat menunjukkan itu $A$independen dari semua$4$ dari acara tersebut $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$itu, dari semuanya $16$ acara di $\sigma$-Aljabar yang dihasilkan oleh $B$ dan $C$; salah satunya adalah$B\cup C$.

Dua hal.

1) Apakah ada cara yang Anda ketahui untuk menulis ulang acara tersebut $A \cap (B\cup C)$. Secara intuitif, kita tahu bagaimana A, B dan A, C berinteraksi, tetapi kita tidak tahu bagaimana B, C berinteraksi. Begitu$(B\cup C)$ menghalangi kita.

2) Apakah ada cara Anda mengetahui penulisan ulang $P(X\cup Y)$?

Bahkan jika Anda tidak segera mendapatkan jawabannya, silakan edit jawaban Anda dengan jawaban untuk pertanyaan-pertanyaan ini dan kami akan pergi dari sana.

sunting

Silakan periksa saya tentang ini. Saya yakin saya punya contoh tandingan.

Menggulung dadu untuk mendapatkan X.

A: X <4

B: X dalam {1, 4}

C: X dalam {1, 5}

Sesuai komentar Dilip Sarwate, acara ini jelas tidak independen.

Cara khas saya akan mencoba untuk membuktikan hasil kemerdekaan seperti ini:

$$\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}$$

dan di sini Anda ingin mempertimbangkan $P(A)$ keluar dari ekspresi untuk membangun properti $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$, yang akan cukup untuk membuktikan kemerdekaan. Namun, jika Anda mencoba melakukan itu di sini, Anda macet:

$$P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \}$$

Perhatikan bahwa ekspresi yang diperkuat hampir $P(B) + P(C) - P(B,C)$, yang akan membawa Anda ke tujuan Anda. Tetapi Anda tidak memiliki informasi yang memungkinkan Anda untuk mengurangi$P(B,C \, | \, A)$ lebih jauh.

Perhatikan bahwa dalam jawaban asli saya, saya dengan sembrono menyatakan itu $P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$dan dengan demikian secara keliru mengklaim bahwa hasil yang diminta untuk dibuktikan adalah benar; mudah berantakan!

Tetapi karena terbukti sulit untuk menunjukkan kemerdekaan dengan cara ini, langkah selanjutnya yang baik adalah mencari contoh tandingan, yaitu sesuatu yang memalsukan klaim kemerdekaan. Komentar Dilip Sarwate tentang OP mencakup contoh yang persis seperti itu.

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

Sekarang, kita perlu menunjukkan $P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

Jika $A, B,C$ saling independen, hasilnya jelas.

Sementara kondisinya $A$ dan $B$ independen dan $A$ dan $C$ independen tidak menjamin independen terhadap $B$ dan $C$

Oleh karena itu, OP mungkin perlu memeriksa kembali kondisi pertanyaan.

P {A (B + C)} = P (AB + BC) = P (AB) + P (AC) -P (ABC) = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A) P (BC) [A, B, C saling independen] = P (A) [P (B) + P (C) -P (BC)] = P (A) P (B + C) Karenanya A dan B + C bersifat independen.