Perhitungan fungsi tautan kanonik dalam GLM

Saya pikir fungsi tautan kanonik berasal dari parameter alami keluarga eksponensial. Katakan, pertimbangkan keluarga lalu adalah fungsi tautan kanonik. Ambil distribusi Bernoulli sebagai contoh, kami memiliki Jadi, fungsi tautan kanonik$g(\cdot)$

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Tetapi ketika saya melihat slide ini , ia mengklaim bahwa Meskipun dapat dengan mudah diverifikasi untuk distribusi khusus ini (dan beberapa distribusi lainnya, seperti distribusi Poisson), Saya tidak bisa melihat kesetaraan untuk kasus umum. Adakah yang bisa memberi petunjuk? Terima kasih ~

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$

Fungsi varians untuk variabel Bernoulli adalah . Kami dengan mudah memeriksa bahwa dengan tautan kanonik lalu $V(\mu) = \mu(1-\mu)$$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

Untuk kasus umum, seseorang berasal dari definisi bahwa lihat misalnya halaman 28-29 di McCullagh dan Nelder . Dengan tautan kanonik kita memiliki , dan fungsi varians didefinisikan sebagai , yang dalam istilah menjadi Dengan membedakan identitas kita mendapatkan

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

Dalam pembangunan fungsi kuasi-kemungkinan itu wajar untuk memulai dengan hubungan antara mean dan varians, diberikan dalam hal fungsi varian . Dalam konteks ini anti-turunan dari dapat diartikan sebagai generalisasi dari fungsi tautan, lihat, misalnya, definisi kemungkinan kuasi (log) pada halaman 325 (rumus 9.3) ) di McCullagh dan Nelder . $V$$V(\mu)^{-1}$