Apa varian penaksir ini?

Saya ingin memperkirakan rata-rata fungsi f, yaitu mana dan adalah variabel acak independen. Saya punya sampel f tetapi tidak iid: Ada sampel iid untuk dan untuk setiap ada sampel dari :

$$E_{X,Y}[f(X,Y)]$$ $X$$Y$$Y_1,Y_2,\dots Y_n$$Y_i$$n_i$$X$$X_{i,1},X_{i,2},\dots, X_{i,n_i}$

Jadi total saya punya sampel$f(X_{1,1},Y_1) \dots f(X_{1,n_1},Y_1 ) \dots f(X_{i,j},Y_i) \dots f(X_{n,n_n},Y_n)$

Untuk memperkirakan rata-rata yang saya hitung Jelas jadi adalah penaksir yang tidak bias. Sekarang saya bertanya-tanya apa itu , yaitu varians dari estimator itu.

$$\mu=\sum_{i=1}^n 1/n * \sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$$ $$E_{X,Y}[\mu]=E_{X,Y}[f(X,Y)]$$ $\mu$$Var(\mu)$

Sunting 2: Apakah ini varian yang benar? Ini tampaknya berfungsi dalam batas, yaitu jika n = 1 dan semua varians hanya menjadi varians dari mean. Dan jika rumus menjadi rumus standar untuk varians estimator. Apakah ini benar? Bagaimana saya bisa membuktikannya?

$$Var(\mu)=\frac{Var_Y(\mu_i)}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{Var_X(f(X,Y_i)))}{n_i*n^2}$$ $n_i=\infty$$n_i=1$

Edit (Abaikan ini):

Jadi saya pikir saya membuat beberapa kemajuan: Mari kita mendefinisikan yang merupakan penaksir tidak bias dari .$\mu_i=\sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$$E_X[f(X,Y_i)]$

Menggunakan rumus standar untuk varian kita dapat menulis:

$$Var(\mu)=1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=1}^n Cov(\mu_l,\mu_k)$$ Ini dapat disederhanakan menjadi dan karena s ditarik secara independen, kami dapat menyederhanakan ini menjadi Dan untuk kovarians: $$1/n^2( \sum_{i=1}^n Var(\mu_l)+ 1/n^2\sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$$ $X_{ij}$ $$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X_{i,j},Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$$ $$\begin{align} Cov(\mu_l,\mu_k)&=Cov(\sum_{j=1}^{n_l} \frac{f(X_{j,l},Y_l)}{n_{l}},\sum_{j=1}^{n_k} \frac{f(X_{j,k},Y_k)}{n_{k}})\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*Cov(\sum_{j=1}^{n_l} f(X_{j,l},Y_l),\sum_{j=1}^{n_k} f(X_{j,k},Y_k))\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*\sum_{j=1}^{n_l}\sum_{j=1}^{n_k}Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k))\\ &=\frac{n_k*n_l}{(n_k*n_l)}Cov( f(X_{i,l},Y_l), f(X_{i,k},Y_k))\\ &=Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k)) \end{align}$$ Jadi dengan memasukkan ini kembali kita mendapatkan Saya punya beberapa pertanyaan sekarang: $$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X,Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$$

1. Apakah perhitungan di atas benar?

2. Bagaimana saya bisa memperkirakan dari sampel yang diberikan?$Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$

3. Apakah varians konvergen ke 0 jika saya membiarkan n pergi ke infinity?

T1: Tidak, itu tidak benar. Anda menghilangkan subskrip pada baris 3 dari derivasi akhir kovarians Anda. Itu mengaburkan fakta bahwa kedua RV berlabel "X" sebenarnya independen satu sama lain: yang satu memiliki dan yang lain . Dalam seluruh blok persamaan itu, satu-satunya istilah bukan nol adalah ketika , karena fungsi input independen adalah independen. (Saya berasumsi Anda dengan mengatakan independen terhadap meskipun ini tidak mengikuti, secara tegas, dari klaim kemerdekaan berpasangan di antara semua dan )$\ell$$k$$k=\ell$$X_{12}, Y_1$$X_{22}, Y_2$$X$$Y$

T2: Dari di atas, istilah itu bukan nol hanya ketika , dan dalam hal itu, dikurangi menjadi . Hasil setelah penjumlahannya adalah .$k=\ell$$Cov(f(X_{jk}, Y_k), f(X_{jk}, Y_k)) = Var(f(X_{jk}, Y_k))$$Cov(\mu_k, \mu_k) = \frac{1}{n_k} Var(f(X_{jk}, Y_k))$

T3: Ya: setelah modifikasi ini, Anda hanya akan memiliki jumlah istilah linear dalam jumlah terakhir, sehingga istilah kuadrat penyebut akan menang.