Turunkan P (C | A + B) dari dua aturan Cox

Saya bekerja dengan cara saya (belajar sendiri) melalui buku ET Jaynes ' Probability Theory - The Logic of Science

Masalah Asli

Latihan 2.1 mengatakan: "Apakah mungkin untuk menemukan formula umum untuk$p(C|A+B)$ analog dengan [rumusnya $p(A+B|C)=p(A|C)+p(B|C)-p(AB|C)$] dari produk dan aturan penjumlahan. Jika demikian, turunkan; jika tidak, jelaskan mengapa ini tidak bisa dilakukan. "

Memberi

Aturan yang harus saya kerjakan adalah:

$p(AB | C) = p(A|C)p(B|AC) = p(B|C)p(A|BC)$ dan $p(A|B)+p(\bar{A}|B)=1$

Di mana kita juga dapat menggunakan identitas logis untuk memanipulasi proposisi. Sebagai contoh:$A+B=\overline{\bar{A}\bar{B}}$

Asumsi Solvabilitas

Saya percaya itu pasti mungkin karena dia tidak memperkenalkan aturan lain di kemudian hari dan memiliki kombinasi logis sederhana dari proposisi yang tidak mudah diungkapkan akan mengalahkan tesis sentral Jaynes. Namun, saya tidak bisa mendapatkan aturan.

Percobaan saya

Untuk menjaga agar saya tidak bingung karena menggunakan nama variabel yang sama dengan givens, saya memecahkan masalah dengan:

Turunkan rumus untuk $p(X|Y+Z)$

Memperkenalkan tautologi untuk pengkondisian

Upaya terbaik saya untuk menyelesaikannya sejauh ini adalah memperkenalkan sebuah proposisi $W$yang selalu benar. Jadi saya bisa menulis ulang$Y+Z$ sebagai $(Y+Z)W$ (Karena kebenaran adalah identitas multiplikatif).

Lalu, saya bisa menulis:

$p(X|Y+Z)=p(X|(Y+Z)W)$

Jadi, menulis ulang salah satu dari givens sebagai aturan Bayes: $p(A|BC)=\frac{p(B|AC)p(A|C)}{p(B|C)}$, Saya bisa menulis:

$p(X|(Y+Z)W)=\frac{p(Y+Z|XW)p(X|W)}{p(Y+Z|W)}=\frac{p(Y+Z|X)p(X|W)}{p(Y+Z|W)}$

Mengapa ini tidak berhasil?

Syarat $p(Y+Z|X)$mudah ditangani. (Perluasannya disebutkan dalam definisi masalah.)

Namun, saya tidak tahu harus berbuat apa $p(X|W)$ dan $p(Y+Z|W)$. Tidak ada transformasi logis yang dapat saya terapkan untuk menyingkirkan$W$, saya juga tidak bisa memikirkan cara untuk menerapkan aturan yang diberikan untuk sampai ke sana.

Tempat-tempat lain yang pernah saya lihat

Saya telah melakukan pencarian Google, yang muncul halaman forum ini . Tetapi penulis melakukan hal yang sama saya mencoba tanpa melihat kesulitan yang saya miliki dengan hasil pengkondisian pada tautologi yang diperkenalkan.

Saya juga mencari "Jaynes" stats.stackexchange.com dan juga untuk "Latihan 2.1" tanpa menemukan hasil yang bermanfaat.

Saya tidak yakin apa yang dianggap analog oleh Jaynes $P(A\cup B \mid C) = P(A \mid C) + P(B \mid C) - P(AB \mid C)$ tetapi siswa dengan ceria menggunakan satu atau lebih dari yang berikut pada pekerjaan rumah dan ujian:

Catatan: Mengubah komentar saya (yang sekarang dihapus) menjadi tambahan untuk jawaban saya, aturan mengizinkan manipulasi berikut: $P(AB \mid C) = P(A\mid C)P(B \mid AC); P(A \mid C) = 1 - P(A^c \mid C).$ Yang pertama memperkenalkan pengkondisian pada subset dari $C$ tetapi tidak menghilangkan pengkondisian pada $C$. Yang kedua juga tidak menghilangkan pengkondisian$C$. Jadi ada manipulasi$P(A\mid B \cup C)$ akan selalu menyertakan ketentuan formulir $P(X\mid B \cup C)$, dan $P(A\mid B \cup C)$ tidak dapat diungkapkan dalam bentuk $P(A \mid B)$, $P(A \mid C)$, $P(A \mid BC)$, dll. tanpa menyertakan probabilitas yang dikondisikan $B \cup C$ juga.

Untuk masalah-masalah seperti ini, kadang-kadang ada gunanya memikirkan lebih sedikit tentang formula dan alih-alih menggambar (dalam hal ini, diagram Venn).

Sekarang menatap gambar dan coba memvisualisasikan apa $P(C | A \cup B)$mewakili. Jika Anda dapat mengambilnya dari gambar, maka Anda akan melihat bahwa ada beberapa cara yang valid untuk menulisnya (dua cara melompat ke pikiran saya dari kelelawar). Jika Anda masih buntu, coba kembali ke bukti biasa tentang aturan penambahan umum biasa untuk petunjuk.

Ingat: probabilitas bersyarat memusatkan semua massa probabilitasnya pada peristiwa pengkondisian (dalam kasus ini, $A \cup B$). Idenya adalah untuk fokus pada lokasi di mana$C$ memotong acara itu.

Ngomong-ngomong, kode R untuk gambar tersebut adalah

library(venneuler)
vd <- venneuler(c(A=0.2, B=0.2, C=0.2, "A&B"=0.04, "A&C"=0.04, "B&C"=0.04 ,"A&B&C"=0.008))
plot(vd)

Teorema Bayes memberi

Anda tidak dapat menyingkirkan tautologi. Saya pikir Anda seharusnya hanya menambahkan tautologi dan menerapkan aturan produk dan kemudian aturan penjumlahan dan Anda mendapatkan:

di mana semua probabilitas dinyatakan sebagai bagian dari tautologi. Saya pikir ini adalah yang paling mirip dengan aturan penjumlahan yang bisa Anda dapatkan untuk masalah ini, sehingga akan menjadi solusinya.

Perhatikan bahwa jika Anda menambahkan kondisinya $p(AB|W)=0$ (yaitu $A$ dan $B$ saling eksklusif) Anda mendapatkan ekspresi yang sama dengan yang harus Anda buktikan dalam masalah 2.2, yang akan menunjukkan solusi ini kemungkinan besar benar (oleh induksi Bayesian;).

Hanya mengikuti aturan Cox, mengambil $W=X$ seperti dalam buku Jaynes, kami memiliki solusi dari MastermindX:

Solusi untuk Kel. 2.1 mengikuti maksud Bab 2 dalam aturan produk, bahwa "pertama-tama kita mencari aturan yang konsisten yang berkaitan dengan masuk akalnya produk logis$AB$ untuk masuk akal $A$ dan $B$ secara terpisah "(halaman 24). Selain itu, untuk proposisi yang saling eksklusif $A$ dan $B$, ini sama dengan Persamaan. (2.67) dalam Kel. 2.2, jika kita ambil$\{A_{1} = A$, $A_{2} = B\}$; juga ditunjukkan oleh MastermindX. Perhatikan bahwa Jaynes sendiri tidak menghilangkan informasi tambahan$X$pada Persamaan. (2.67), jadi saya percaya ini adalah solusi yang diharapkan untuk kedua latihan.