Apakah distribusi binomial memiliki varians sekecil mungkin di antara semua distribusi "masuk akal" yang dapat memodelkan pemilihan biner?

Bayangkan sebuah pemilihan di mana orang membuat pilihan biner: mereka memilih A atau menentangnya. Hasilnya adalah bahwa orang memilih untuk A, dan hasilnya A adalah .$n$$m$$p=m/n$

Jika saya ingin memodelkan pemilihan ini, saya dapat mengasumsikan bahwa setiap orang memilih A secara independen dengan probabilitas , yang mengarah ke distribusi binomial suara:Distribusi ini memiliki rata-rata dan varians .$p$

Saya bisa membuat asumsi lain juga. Sebagai contoh, saya dapat berasumsi bahwa probabilitas sendiri merupakan variabel acak yang berasal dari beberapa distribusi (misalnya beta); ini dapat menyebabkan distribusi beta-binomial suara untuk A. Atau saya dapat berasumsi bahwa orang memilih dalam kelompok , di mana setiap kelompok orang membuat pilihan yang sama dan itu adalah A dengan probabilitas . Ini akan mengarah pada distribusi binomial dengan varian yang lebih besar. Dalam semua kasus ini, varian dari distribusi yang dihasilkan lebih besar daripada dalam skema binomial paling sederhana.$p$$k$$k$$p$

Bisakah saya membuat klaim bahwa distribusi binomial memiliki varians sekecil mungkin? Dengan kata lain, dapatkah klaim ini dibuat dengan tepat, misalnya dengan menetapkan beberapa kondisi yang masuk akal tentang kemungkinan distribusi? Bagaimana kondisi ini?

Atau mungkin ada beberapa distribusi wajar yang memiliki varian lebih rendah?

Saya dapat membayangkan varians yang lebih rendah, misalnya ketika semua orang setuju sebelumnya tentang bagaimana mereka akan memilih, dan jadi sebenarnya bukan variabel acak, tetapi angka tetap . Maka variansnya adalah nol. Atau mungkin hampir semua dari mereka setuju tetapi beberapa orang tidak, dan kemudian orang dapat memiliki varian kecil di sekitar . Tapi ini terasa seperti selingkuh. Bisakah seseorang memiliki varian yang lebih kecil dari binomial tanpa pengaturan sebelumnya, yaitu ketika setiap orang memberikan suara secara acak?$n$$\text{votes for A}$$m$$m$

Tidak ada .

Misalkan pemilih terdiri dari pasangan menikah. Para suami berkumpul dan memutuskan untuk memilih melawan istri mereka, yang mereka sendiri pilih secara acak. Hasilnya selalu suara untuk masing-masing kandidat, dengan nol varians.$n=2k$$k$

Anda mungkin menangis busuk karena suami tidak memilih secara acak. Ya, mereka - mereka hanya terikat erat dengan suara acak dari istri mereka. Jika itu mengganggu Anda, ubah sedikit dengan meminta setiap suami membalik sepuluh koin yang adil. Jika kesepuluh adalah kepala, ia akan memilih dengan istrinya; kalau tidak dia memilih melawannya. Anda dapat memeriksa bahwa hasil pemilu masih memiliki varian kecil (meskipun bukan nol), meskipun setiap suara tidak dapat diprediksi.

Inti dari masalah ini terletak pada kovarians negatif antara dua blok suara, pria dan wanita.